课后习题(三十七)数列的概念与简单表示法
1．6n－1[由题知，Sn＝3n2＋2n，则Sn－1＝3(n－1)2＋2(n－1)＝3n2－4n＋1(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝6n－1(n≥2)，又a1＝S1＝5，符合上式，所以an＝6n－1(n∈N*)．]
2．(－3，＋∞)[由数列{an}是递增数列，可得an＋1an对于任意的n∈N*恒成立，即(n＋1)2＋k(n＋1)n2＋kn，即2n＋1＋k0，即k－2n－1对于任意的n∈N*恒成立．因为f(n)＝－2n－1(n∈N*)递减，所以f(n)max＝f(1)＝－3，所以k－3．]
3．4[法一：因为an＋1－an＝2n-32
所以当n≥4时，an＋1an；当n≤3时，an＋1an，
即a1a2a3a4a5a6…，
故数列{an}的最大项为第4项．
法二：设数列{an}中的最大项为ak，则ak≥ak+1
即2k-52k≥2k
因为k∈N*，所以k＝4．
故数列{an}的最大项为第4项．]
4．解：(1)因为Sn＝n2·an，①
所以Sn＋1＝(n＋1)2·an＋1，②
②－①，得an＋1＝(n＋1)2·an＋1－n2·an，
所以an+1an＝nn+2
所以b1＝13，b2＝12，b3＝35，b4
(2)当n≥2时，由an+1an＝nn+2，得a2a1＝13，
所以a2a1·a3a2·
即ana1＝2nn
又因为a1＝12，所以an＝1nn+1(
当n＝1时，a1＝12满足上式，故an＝1
5．B[因为Sn＝3n－1，所以a5＝S5－S4＝35－1－34＋1＝162．故选B．]
6．B[因为a1＝43，an＋1＝2－2
所以a2＝2－2a1＝12，a3＝2－2a2＝－2，a4＝2－2a3＝3，a5
所以数列{an}是以4为周期的数列，故－1不是{an}中的项．故选B．]
7．C[对于A，an－an－1＝1n-1n-1＝－1nn-10
对于B，an－an－1＝－2＜0，故{an}为递减数列，故B错误；
对于C，an－an－1＝2n－1＞0，故{an}为递增数列，故C正确；
对于D，an－an－1＝12n-12n-1＝－12n0，故{
8．AC[数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，
经验证，AC选项，显然可以表示，
对于B，当n＝1时，a1＝0，故B错误；
对于D，当n＝2时，a2＝2，故D错误．故选AC．]
9．D[∵a1＋a22+a33＋…＋a
∴当n＝1时，a1＝1－12＝1
当n≥2时，a1＋a22+a33＋…＋an-1
∴①－②，得ann＝1－12
∴an＝n2
当n＝1时也成立，∴an＝n2n．故选D
10．B[根据题意，数列{an}的前几项为2，5，10，17，26，37，…，
归纳可得其递推公式为an＋1－an＝2n＋1，a1＝2，
所以an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－3，…，a2－a1＝3，
累加得an－a1＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)，
所以an－2＝n-12n+22＝n2－1，所以an＝
故a985＝9852＋1．故选B．]
11．2n－113[∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11，
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
令f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝114，但n∈N*
∴当n＝3时，f(n)取得最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]
12．an＝1，n=112×32n-2，n≥
a1＝1，当n＝1时，S1＝a1＝2a2，所以a2＝12．
当n≥2时，Sn－1＝2an，②
①－②，得an＝2an＋1－2an，即an+1an＝32
所以当n≥2时，an＝a2·32n-2
故an＝1，