课后习题(四十)数列求和(一)
1．D[S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100．故选D．]
2．C[由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为1×1-2101-2＋10×1＋10×92×2＝1123
3．－8094[令y＝f12024＋f22024＋…＋f40462024＋f
y＝f40472024＋f40462024＋…＋f22024＋f
①＋②，得2y＝f12024+f4047
因为f(x)＋f(2－x)＝x＋sinπx－3＋(2－x)＋sin[π(2－x)]－3＝－4，
所以2y＝－4×4047，故y＝－8094．]
4．解：(1)因为an是2与Sn的等差中项，所以2an＝Sn＋2，①
当n≥2时，2an－1＝Sn－1＋2，②
①－②得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1(n≥2)，
又因为a1＝2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n．
(2)bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·(2n＋1)，
当n为偶数时，
Tn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(bn－1＋bn)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]＝2＋2＋…＋2＝2·n2＝n
当n为奇数时，Tn＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(bn－1＋bn)＝－3＋(－2)＋(－2)＋…＋(－2)＝－3＋(－2)·n-12＝－n－
综上所述，数列{bn}的前n项和Tn＝-
5．D[∵当n≠26时，an＝2n-512n-52＝2
∴an＋a52－n＝1＋12n-26＋1＋1
∵S＝a1＋a2＋…＋a51，
S＝a51＋a50＋…＋a1，
∴2S＝(a1＋a51)＋(a2＋a50)＋…＋(a51＋a1)＝2×51，
∴S＝51．故选D．]
6．ABD[设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q≠0)，
依题意，1+d+2
所以an＝2n－1，bn＝2n，即选项A，B都正确；
因为cn＝a
所以c2n－1＝a2n－1＝4n－3，c2n＝b2n＝4n，
所以数列{cn}的前2n项和S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝n1+4n-32+41-4n1-4＝2n
所以S9＝S8＋a9＝2×42－4＋43(44－1)＋17＝385，即选项C错误，D正确．故选ABD．
7．240[由an＝n2-12，n为奇数，n22，
可得数列{bn}的前30项和为－a1＋a2－a3＋a4－…－a29＋a30＝－12-12+
＝22-12
＝12(3＋7＋11＋…＋59)＋152＝12×
8．解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12(n2＋n)－12[(n－1)2＋(n－1)]＝
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，
所以an＝n．
(2)依题意，b1＝S1＝1，b2＝S2＝3，由bn＋1＝λbn＋1，得3＝λ＋1，解得λ＝2，
则bn＋1＝2bn＋1，即bn＋1＋1＝2(bn＋1)，而b1＋1＝2，
因此数列{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则bn＋1＝2n，即bn＝2n－1，
所以数列{bn}的前n项和Hn＝21-2n1-2－n＝2n+1－
9．解：因为f(x)＝3x
所以f(x)＋f(－x)＝3x3
＝1．
因为数列{an}是等比数列，
所以a1a99＝a2a98＝…＝a49a51＝a502＝
即lna1＋lna99＝lna2＋lna98＝…＝lna49＋lna51＝2lna50＝0．
所以f(lna1)＋f(lna99)＝f(lna2)＋f(lna98)＝…＝f(lna49)＋f(lna51)＝2f(lna50)＝1，
设S99＝f(lna1)＋f(lna2)＋f(lna3)＋…＋f(lna99)，①
又S99＝f(lna99)＋f(lna98)＋f(lna97)＋…＋f(lna1)，②
①＋②，得2S99＝99，
所以S99＝992