课后习题(六十五)离散型随机变量及其分布列、数字特征
1．B[由分布列的性质知a＝1－(0.06＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28．
∴P(6X9)＝P(X＝7)＋P(X＝8)
＝0.09＋0.28＝0.37．故选B．]
2．ACD[由离散型随机变量X的分布列的性质得：
q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2．故选ACD．]
3．AB[对于选项A，∵随机变量ξ的分布列为Pξ=k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)，∴Pξ=15＋Pξ=25＋Pξ=35＋Pξ=45＋P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115，故A正确；对于选项B，P12ξ45＝Pξ=35＝3×115＝15，故B正确；对于选项C，P110ξ12＝P
4．916[因为E(X)＝72，D(X)＝
由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，
得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝3512+72
5．B[由题意得13＋m＋14+16＝1
随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
13
14
14
16
∴P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝512，故选B．
6．A[由题可知13+12＋m＝1，解得m＝16，则E(X)＝0×13＋1×12
所以E(Y)＝3E(X)－2＝3×56－2＝12．故选A
7．C[根据题意可得，E(X)＝0+a+13
D(X)＝0-a+132×
所以D(X)在0，12上单调递减，在12，1上单调递增，所以D(
8．BCD[正数a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，
又由分布列的性质可知，a＋b＋c＝1，
解得b=13，a
由a＋c＝23，得0c2
则E(X)＝a＋2b＋3c＝2c＋43∈43，
D(X)＝a1-2c+432＋2-2c+432×13＋c3-2c+432＝
当c＝13时，D(X)取得最大值，且最大值为23，
故选BCD．]
9．13[∵D(10ξ)＝100D(ξ)＝1009，∴D(ξ)＝
∴ξ的标准差Dξ＝19＝
∴ξ的标准差为13．
10．－13[因为E(X)＝P1＋2P2＋3P3＝53
且P1＋P2＋P3＝1，②
所以①－②×2可得，P1＋2P2＋3P3－2(P1＋P2＋P3)＝P3－P1＝－13．
11．解：设X为员工获得的红包数额，则X可能取值为80，90，100，110，
所以P(X＝80)＝1C54＝15，P(X＝90)＝
P(X＝100)＝2C54＝25，P(X＝110)＝
所以E(X)＝80×15＋90×15＋100×25＋110×1
D(X)＝(80－96)2×15＋(90－96)2×15＋(100－96)2×25＋(110－96)2×15＝
12．解：(1)依题意，得712+16
所以a＝14
设投入项目A，B的资金都为x万元，随机变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获的利润，则X1和X2的分布列分别为
X1
0.4x
－0.2x
0
P
712
16
14
X2
0.3x
－0.1x
P
b
c
由分布列得E(X1)＝0.4x×712＋(－0.2x)×16＋0×14＝
E(X2)＝0.3bx－0.1cx．
因为E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，
即0.3b－0.1c＝0.2．
又b＋c＝1，解得b＝34，c＝1
所以a＝14，b＝34，c＝
(2)当投入100万元资金时，
由(1)知x＝100，
所以E(X1)＝E(X2)＝20，
D(X1)＝(40－20)2×712＋(－20－20)2×16＋(0－20)2×14
D(X2)＝(30－20)2×34＋(－10－20)2×14＝
所以D(X1)D(X2)，这说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B．