午练20数列的概念与简单表示法
一、选择题
1.已知数列eq\r(5)，3，eq\r(13)，eq\r(17)，…，eq\r(4n＋1)，…，则3eq\r(5)是它的()
A.第8项 B.第9项
C.第10项 D.第11项
答案D
解析由题意可知通项公式为eq\r(4n＋1)，则eq\r(4n＋1)＝3eq\r(5)，n＝11，故选D.
2.已知an＝eq\f(n－\r(122),n－\r(123))(n∈N*)，则在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是()
A.a1，a30 B.a1，a9
C.a10，a9 D.a12，a11
答案D
解析根据题意，an＝eq\f(n－\r(122),n－\r(123))＝1＋eq\f(\r(123)－\r(122),n－\r(123)).当n≤11时，数列{an}递减，且an1；当n≥12时，数列{an}递减，且an1.故在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是a12和a11.
3.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，则an等于()
A.eq\f(1,n) B.eq\f(2n－1,n)
C.eq\f(n－1,n) D.eq\f(1,2n)
答案B
解析a2＝a1＋1－eq\f(1,2)，a3＝a2＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，…，an＝an－1＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)(n≥2)，
则an＝a1＋1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝2－eq\f(1,n)＝eq\f(2n－1,n)(n≥2).
又a1＝1也适合上式，所以an＝eq\f(2n－1,n).
4.(多选)下列四个命题中是真命题的是()
A.a1＝1，递推公式为an＋1＝an的数列的各项都是1
B.a2＝2，递推公式为an＋1＝2an的数列的各项都是偶数
C.数列eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…的一个通项公式是an＝eq\f(n＋1,n＋2)
D.如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项
答案AC
解析由a1＝1，an＋1＝an，得an＝1，即数列的各项都是1，选项A符合题意；由a2＝2，an＋1＝2an，得a2＝2a1＝2，a1＝1，故首项不是偶数，选项B不符合题意；数列eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…的一个通项公式是an＝eq\f(n＋1,n＋2)，选项C符合题意；易知选项D不符合题意.
5.(多选)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(eq\r(an＋2)＋1)2－2，则关于数列{an}的说法正确的是()
A.a2＝5
B.数列{an}为递增数列
C.an＝n2＋2n－1
D.数列{an}为周期数列
答案BC
解析由an＋1＝(eq\r(an＋2)＋1)2－2，
得an＋1＋2＝(eq\r(an＋2)＋1)2，即eq\r(an＋1＋2)＝eq\r(an＋2)＋1，又a1＝2，
所以{eq\r(an＋2)}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以eq\r(an＋2)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
即an＝n2＋2n－1，
所以a2＝7，故A错误，C正确；
an＝(n＋1)2－2，所以{an}为递增数列，故B正确；
数列{an}不具有周期性，故D错误.
二、填空题
6.已知数列{an}，a1＝3，an＝－3an－1(n≥2)，则a3＝________，an＝________.
答案27－(－3)n
7.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a10＝________.
答案19
解析因为Sn＝n2，所以a10＝S10－S9＝100－81＝19.
8.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1，an22024成立，则n的最小值为________.
答案2026
解析当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.令2n－122024得n－12024，即n2025，则n的最小值为2026.
9.在数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，设数列{an}的前n项和为Sn，则a4＝________，S2024＝________.
答案－eq\f(1,3)eq\f(1771,3)
解析∵an＋1＝eq\f(1＋a