午练25空间几何体的表面积、体积
一、选择题
1.某圆柱体的底面直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体表面积的比值为()
A.2 B.eq\f(4,3)
C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,4)
答案C
解析设圆柱体的底面半径为R，则高为2R，球体的半径为R，所以圆柱体表面积S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，球体的表面积S2＝4πR2，所以圆柱体表面积与球体表面积的比值为eq\f(6πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).故选C.
2.已知正面体ABCD可以在圆锥SO内绕自身的中心任意旋转，若该正四面体棱长的最大值为2eq\r(2)，且圆锥的高为3eq\r(3)，则圆锥SO的表面积为()
A.27π B.30π
C.32π D.36π
答案A
解析如图，当正四面体棱长取到最大值2eq\r(2)时，其外接球半径r＝eq\f(\r(6),4)×2eq\r(2)＝eq\r(3)，此时该球为圆锥SO的内切球，设球心为P，圆锥SO的底面半径为R，作轴截面如图，Q为切点，则eq\f(PQ,SP)＝eq\f(OB,SB)，即eq\f(\r(3),3\r(3)－\r(3))＝eq\f(R,\r(R2＋27))，解得R＝3，故圆锥SO的表面积为π×3×6＋π×9＝27π.故选A.
3.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()
A.12eq\r(3) B.18eq\r(3)
C.24eq\r(3) D.54eq\r(3)
答案B
解析设等边△ABC的边长为a，则有S△ABC＝eq\f(1,2)a·a·sin60°＝9eq\r(3)，解得a＝6.设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝eq\f(6,sin60°)，解得r＝2eq\r(3)，则球心到平面ABC的距离为eq\r(42－（2\r(3)）2)＝2，所以点D到平面ABC的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为eq\f(1,3)×9·eq\r(3)×6＝18eq\r(3)，故选B.
4.(多选)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，用一个平面α截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是()
A.这两部分的表面积也相等
B.截面可以是三角形
C.截面可以是五边形
D.截面可以是正六边形
答案AD
解析因为用平面α截正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，所以平面α一定过正方体的中心，所以这两部分的表面积也相等.根据对称性可知，截面不会是三角形、五边形，但可以是正六边形，如图，故选AD.
5.(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的eq\f(1,3)，则下列结论正确的是()
A.球O的表面积为6π
B.球O的内接正方体的棱长为1
C.球O的外切正方体的棱长为eq\f(4,3)
D.球O的内接正四面体的棱长为2
答案AD
解析设球O的半径为r，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为R.易得R＝eq\f(2\r(3),3).因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的eq\f(1,3)，所以r2－eq\f(1,9)r2＝R2＝eq\f(4,3)，得r2＝eq\f(3,2).所以球O的表面积S＝4πr2＝4π×eq\f(3,2)＝6π，选项A正确；球O的内接正方体的棱长a满足eq\r(3)a＝2r，显然选项B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2r，显然选项C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c＝eq\f(2\r(6),3)r＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),2)＝2，选项D正确.
二、填空题
6.已知正方体的棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以2eq\r(2)为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有弧长的和为________.
答案3π
解析根据题意可知该球面与正方体的3个面有交线，每条弧线均是以90°为圆心角，2为半径的弧，所以所有的弧长之和为3×eq\f(2π×2,4)＝3π.
7.正四棱锥P－ABCD的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为________.
答案9π
解析如图，取四边形ABCD的中心为点E，连接PE并延长，交球O于点F，易知PE为正四棱锥的高，且外接球的球心O必在PE所在的直线上.连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形，且AE⊥PF，由射影定理，得PA2＝PF·PE.因为AE＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\r(2)，