立体几何异面直线所成角和线面角以及二面角

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立体几何中关于角的知识点

一、线线角的定义与求解

线线角主要是求异面直线所成角。

1、线线角的定义：

￠￠￠￠

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一O作直线a//a，b//b，把a与b所成的锐角或直角叫

做异面直线a,b所成的角(或夹角)

?pù

②范围：?0,2ú

è?

2、求异面直线所成角一般步骤：

（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．

（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．

（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．

?pù

（4）取舍：因为异面直线所成角q的取值范围是?0,2ú，

è?

所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．

3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

①平行四边形平移法；

②中位线平移法；

③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

二、线面角的定义与求解

1、直线与平面所成角的定义

如图，一条直线PA和一个平面?相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平

面的交A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜

线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成

的角.

2、垂线法求线面角（也称直接法）：

（1）先确定斜线与平面，找到线面的交B为斜足；找线在面外的一A，过A向平面?做垂线，确

定垂足O；

（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面?上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

?

=?

公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。

三、面面角的定义与求解

1、二面角的定义

①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.

②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角

-l-，如图(1).

②若在，内分别取不在棱上的P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这

个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).

3、二面角的平面角

①自然语言

在二面角α-l-β的棱l上任取一O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和

OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

②图形语言

③符号语言

∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这