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福建省厦门市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（????）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
3．设是数列的前项和，已知且，则（????）
A．101 B．81 C．32 D．16
4．现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
5．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（????）
A． B． C． D．
6．已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（????）
A． B．1 C．3 D．5
8．已知点是曲线上任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，点是曲线上任意一点，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（????）
A．向量与向量的夹角为
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量与向量共面
10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（????）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11．已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有（????）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2
C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积的最大值为
三、填空题
12．函数的单调递减区间为．
13．曲线上的点到直线的最短距离是.
14．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是．
四、解答题
15．已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
16．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
18．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围.
19．已知圆，点，点在圆上运动的垂直平分线交于点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的动直线交曲线于两点，证明：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求出的坐标．
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《福建省厦门市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
D
A
D
D
BD
ABC
题号
11
答案
ACD
1．A
【分析】由平均速度的定义求解即可.
【详解】由题意可得平均速度是.
故选：A
2．D
【分析】利用双曲线的关系求解即可．
【详解】右焦点到其渐近线的距离等于为，故,故离心率等于，故选D
【点睛】本题考查双曲线的性质：焦点到其渐近线的距离为b
3．B
【分析】分类讨论和，构造，化简得到通项公式即可求解.
【详解】时，，
时，①
②
由得：，且n=1时也满足，
故是首项为1，公比为3的等比数列，，
故选：B.
4．C
【分析】根据捆绑法和插入法即可得到答案.
【详解】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法．
由题意不同站法数为：．
故选：C.
5．D
【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
所以，
所以点到直线的距离是.
故选：D.
6．A
【分析】设，根据题设整理可得点P的轨迹方程为圆，由两圆