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湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（????）
A． B． C． D．
2．在四面体中，，则（????）
A． B．
C． D．
3．“两个向量与共线”是“，，成等比数列”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（????）
A． B．
C． D．
5．在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（????）
A． B． C． D．
6．数列满足，，则（????）
A． B． C． D．
7．双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的值可能为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．等差数列的前项和为，，则（????）
A． B． C． D．
10．已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（????）
A． B．若，则的最小值为
C．若，则 D．若，则直线的斜率为
11．在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（????）
A．若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值
B．沿正方体的表面从点到点的最短距离为
C．若平面与正方体各个面所在的平面所成的角分别为，则
D．三棱锥外接球的半径为
三、填空题
12．已知，则．
13．已知数列满足，且．若是数列的前项积，当取最大值时，．
14．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是．
四、解答题
15．已知．
(1)求并写出的表达式；
(2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值．
16．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长．
17．如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，，点为中点，．
(1)求证：平面；
(2)已知点为线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值．
18．已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到焦点的最近距离为，是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，直线与的斜率分别为与，求的值；
(3)求证：．
19．已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质
(2)证明：，且
(3)当时，若，若数集具有性质，求数集．
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《湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
D
C
A
B
AC
ABD
题号
11
答案
ABD
1．A
【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案.
【详解】由，
所以，即，
所以曲线在点处的切线的斜率是.
故选：A.
2．D
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解
【详解】连接,,
由已知得
，
故选：D
3．B
【分析】利用等比中项和向量共的坐标表示，结合条件及充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】若向量与共线，则有，当，
显然有与共线，此时，，不是等比数列，
即“两个向量与共线”推不出“，，成等比数列”，
若，，成等比数列，则有，此时两个向量与共线，
即“，，成等比数列”可以推出“两个向量与共线”，
所以“两个向量与共线”是“，，成等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
4．C