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南洋模范2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有________种不同的排法
2．已知直线，，若，则实数________．
3．曲线在处的切线方程为________．
4．直线被曲线截得的线段的长是________．
5．已知椭圆与双曲线有公共焦点，，是它们的一个公共点，则________．
6.中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为，与承载重力的方向平行的高度为，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽与高的最佳之比应为________．
7．如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列三个判断：
①到、、、四点的距离之和为定值；
②曲线关于直线、均对称；
③曲线所围区域面积必小于36；
上述判断中正确命题的为________．
8．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是________．
9．已知，，，，使恒成立的有序数对有________对．
10．栱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________．
11．若正方体的棱长为3，是正方体表面上一动点．设是以为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积
为________．
12．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥体积的最大值为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．如果且，那么直线不通过的象限是（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．若函数在处导数为，则等于（）
A． B． C． D．
15．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为（）
A． B．
C． D．
16．已知曲线的对称中心为，若对于上的任意一点，都存在上两点，，使得为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”则（）
A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①②都是假命题 D．①②都是真命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分，第17-19题14分，第20-21题18分）
17．如图，在长方体中，，．
（1）设、分别为和中点，求证：平行于平面；（2）求异面直线与所成角的大小．
18．（1）解方程：；
（2）已知，求的值．
19．如图，某机器人比赛设计了一个矩形场地（含边界和内部，为坐标原点），长10米，在边上距离点4米的处放一只电子狗，在距点2米的处放一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫“成功点”．
（1）求在这个矩形场地内“成功点”的轨迹方程；
（2）若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，求的取值范围．
20．已知椭圆
（1）若，求椭圆的离心率；
（7）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求的值；
（3）过椭圆上一点作斜率为的直线，与双曲线有一个公共点，求的取值范围．
21．定义：若曲线和曲线有公共点，且在处的切线相同，则称与在点处相切．
（1）设，．若曲线与曲线在点处相切，求的值；
（2）设，若圆与曲线在点（在第一象限）处相切，求的最小值；
（3）若函数是定义在上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立．是否存在点，使得曲线和曲线在点处相切？证明你的结论．
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参考答案
一、填空题