庆阳市第一中学2025届第三次模拟考试
数学答案
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
C
B
C
A
B
C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9
10
11
BC
BD
AC
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13 13．2 14．[12e,
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
(1)∵c＝2bcosB，∴由正弦定理可得sinC＝2sinBcosB，
∵C＝eq\f(2π,3)，∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，sin2B＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).
∴2B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，∴2B＝eq\f(π,3)，解得B＝eq\f(π,6).
(2)①由(1)可得∠BAC＝eq\f(π,6)，∴a＝b，
则S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)a2·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),4)，解得a＝eq\r(3).
由余弦定理可得
AM＝eq\r(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2－2·b·\f(a,2)·cos\f(2π,3))
＝eq\r(3＋\f(3,4)＋\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(21),2).
②由(1)可得∠BAC＝eq\f(π,6)，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a＝b＝2Rsineq\f(π,6)＝R，c＝2Rsineq\f(2π,3)＝eq\r(3)R，
则a＋b＋c＝2R＋eq\r(3)R＝4＋2eq\r(3)，解得R＝2，则a＝2，c＝2eq\r(3)，
由余弦定理可得
AM＝eq\r(?2\r(3)?2＋12－2×2\r(3)×1×cos\f(π,6))
＝eq\r(7).
16．（15分）
(1)证明：如图，取PB的中点N，连接AN，MN，则MN∥BC，且MN＝eq\f(1,2)BC．因为A，D分别为RB，RC的中点，所以AD∥BC，且AD＝eq\f(1,2)BC．所以AD∥MN且AD＝MN，所以四边形ADMN为平行四边形．所以DM∥AN.又AN?平面PAB，DM?平面PAB，所以DM∥平面PAB．
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD．
又PA⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．设BE＝t，则P(0,0,2)，D(0,2,0)，E(2，t,0)，0≤t≤4，所以eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，t－2，0)．设n＝(x，y，z)为平面PDE的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－2z＝0，,2x＋?t－2?y＝0.))令y＝2，解得x＝2－t，z＝2，所以n＝(2－t,2,2)．又平面ABED的一个法向量为m＝(0,0,1)，设平面PDE与平面ABED的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n，m〉|＝eq\f(2,\r(?2－t?2＋4＋4))＝eq\f(2,3)，解得t＝1或t＝3，故BE＝1或3.
17．（15分）
(1)由题意可知，X的取值可能为4,6,8.
P(X＝4)＝0.5×0.5×2＝0.5；P(X＝6)＝0.5×0.5×0.5×2＝0.25；P(X＝8)＝0.5×0.5×0.5×2＝0.25，所以三人总积分X的分布列为
X
4
6
8
P
0.5
0.25
0.25
所以E(X)＝0.5×4＋0.25×6＋0.25×8＝5.5.
(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜”，B为“第一局乙对甲最终乙获胜”，C为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，则有P(A)＝p3(1－p1)＋p3p1(1－p2)p3＋(1－p3)p2(1－p1)p3；P(B)＝(1－p1)p3＋(1－p1)(1－p3)p2(1－p1)＋p1(1