蕲春实高2025届高三第二次模拟考试数学
★祝考试顺利★
本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.若集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的表示法可发现集合是点集，集合是数集，所以交集为空集.
【详解】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点，
集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数，
所以.
故选：D.
2.已知，且，其中，实数，则（）
A.1 B.3 C. D.5
【答案】C
【解析】
【分析】先利用算出，则能通过得到关于，的方程组，解出，，即可求出答案
【详解】因为，所以，
所以，
所以由可得，解得，
所以，
故选：C
3.已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则（）
A.5 B. C.3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定与的夹角，再求，进而可解出.
【详解】解：因为在上的投影向量为，
所以与的夹角为，所以，
所以，
所以.
故选：D．
4.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
①若，则；
②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；
③若，则必垂直于面内的无数条直线；
④若为异面直线且点，则存在两条直线过点且与都相交.
A.④ B.③ C.② D.①
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面垂直性质可知①错误，由点、线、面的位置关系以及线面平行的性质可得②错误，利用面面垂直判定定理及其性质可判断③正确，由异面直线定义以及基本定理可得仅有一条直线过点且与都相交，即④错误.
【详解】对于①，若，则可知或，如下图中所示：
即①错误；
对于②，不妨取正方体为例，如下图所示：
直线外一点，此时平面与均与直线平行，
因此过直线外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误；
对于③，若，不妨设，
作，且，所以可知，显然这样的直线可以作出无数条，
如下图所示：
所以必垂直于面内的无数条直线，即③正确；
对于④，在直线上取两点，在直线上取两点，如下图所示:
因为为异面直线且点，所以过三点有且仅有一个平面，
同理过三点有且仅有一个平面，此时两平面仅有一条过点的交线，
所以④错误；
综上可知，仅有③正确.
故选：B
5.已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（）
A. B.或 C.或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出的值，利用双曲线的定义可求得.
【详解】由题意知，所以，所以，
所以，所以点在双曲线的左支上，
所以，所以，
故选：D.
6.函数的最小正周期为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的定义域，再利用三角恒等变换化简函数，求出周期作答.
【详解】函数中，，且，
即有，且，于是得原函数定义域为且，
又，函数最小正周期为，
显然区间内的任意实数，原函数都有意义，而区间内取不为的实数原函数才有意义，
因此原函数的周期不是，又，
经验证任取长度为的区间，每个单位平移，不在定义域内的实数呈周期性，
如区间中，且，区间中，且，不取的实数依次相差，
所以原函数的最小正周期为.
故选：B
7.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（）
①浮萍每月的增长率相同；
②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是；
③若，则当时，恒成立；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则.
A.①③④ B.③④ C.②③④ D.①②④
【答案】A
【解析】
【分析】将点的坐标代入可求出，通过增长率计算可判断①；根据反函数的定义可知，利用对数函数的性质结合二次函数的图象和性质可判断②；利用基本不等式计算判断③；利用指数幂的运算判断④.
【详解】由图象可知，函数过点，则，即.
对于①，浮萍每月的增长率为，故①正确；
对于②，若函数与的图像关于直线对称，则，
则，要使其值域为，则函数的值域要包含，
因为二次函数开口向上，所以即可，解得或，故②错误；
对于③，，设，则，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以，故③正确；
对于④，由题意知，，，，所以，，
则，故，故④正确.
故选：A.
8.已知实数，且，则下列四个结论中，正确的有（）
A. B.
C. D.的最小值是
【答案】D
【解析】
【分析】由题意构造函数构造函数，求导得函数单调性、极值情况，即可判断A，B，C，将目标式子转换为关于的函数即可求解.
【详解】构造函数，
则，由可得或，由可得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
因为a，b，c为函数的三个零点，
所以，，
因