2025年新高考信息卷（三）
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.在复平面内，对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
4.已知，则（）
A.2 B.1 C. D.
5.已知实数，满足，则的最大值为（）
A. B. C. D.
6.已知抛物线焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（）
A.2 B. C. D.
7.下列函数在区间上单调递增的是（）
A. B. C. D.
8.已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（）
A圆上 B.椭圆上 C.抛物线上 D.双曲线上
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（）
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
18
20
22
13
20
27
10
21
19
30
乙
3
10
20
9
24
27
13
28
9
17
A.甲的众数大于乙的众数
B.甲的平均数大于乙的平均数
C.甲的极差大于乙的极差
D.甲的60百分位数大于乙的60百分位数
10.已知函数的最小正周期为，则（）
A. B.
C. D.
11.武当太极拳又称武当内家拳，是我国的一项传统武术拳种，修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年益寿.若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式，张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第十三式，每种招式打一遍，小张随机打了十三式，则（）
A.若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为13!
B.若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为13!
C.若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为12!
D.若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是__________．
13.若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_____.
14.已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.在中，内角的对边分别为，且．
（1）求A：
（2）若，的面积为，求的周长．
16.如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点、分别为棱、的中点.
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值.
17.已知数列的前项和为，且，，成等差数列.已知数列首项，且.
（1）求数列的通项公式，并求数列的前项和.
（2）若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
（3）是否存在不同，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由.
18.已知函数有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）记两个极值点分别为，，证明：.
19.已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）若是椭圆上一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点，且时，允许），点是的内心（即内切圆的圆心），满足，其中，为坐标原点.
①证明：；
②若，且对任意都有面积为，求对任意都有的概率.