2025年哈尔滨三中高三年级4月适应性练习
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合，集合，则（）．
A. B.或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据根式的性质以及一元二次不等式的求解化简集合，即可根据并集以及补集的定义求解.
【详解】由可得，
由可得或，
故或，则，
故选：D
2.若，则（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的乘除法运算求得，再根据共轭复数及复数的模求得，结合复数的乘方运算即可求解．
【详解】由，
所以，，
则，
又，，，，
故选：B．
3.单位向量，满足，则在上的投影向量为（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律求出，再利用投影向量的意义求解.
【详解】单位向量，满足，得，解得，
因此，，
所以在上的投影向量为.
故选：A
4等差数列满足，，则（）．
A.15 B.32 C.45 D.60
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】设公差为，由可得，
又可得，故，
因此，
故选：C
5.与的公切线过，且有极小值，则极小值为（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设切点，利用导数几何意义求解切线方程，由直线过得方程，构造函数利用导数，研究函数零点求解方程，再利用判别式求解值，结合导数求解函数极小值即可.
【详解】设公切线与函数的切点为，
则切线的斜率，则切线的方程为，
即.
由过，可得，化简得，
设，则.
当时，，在上单调递减；
当时，，在单调递增；
故当且仅当时，，
则方程有且仅有个根，即，
故的斜率为，则方程为，
联立消得，
可知不是方程的根，
由直线也与相切，则，
解得或.
当时，，则，
则在和上都单调递增，不存在极值，不符合题意；
当时，，则，
当或时，，
则在与上单调递增；
当或时，，
则在与上单调递增；
故当时，有极小值，极小值为.
故选：D.
6.正三棱柱上底面的重心为O，若与所成角为，则三棱锥与的体积之比为（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设正三棱柱底面边长为2，下底面的重心为，连接，则平面，平面，由与所成角为求得正三棱柱的高，在分别计算出三棱锥与的体积即可求解．
【详解】设正三棱柱底面边长为2，下底面的重心为，连接，则平面，平面，
又平面，所以，则与所成角即为，
在中，，，解得，
所以，则，
取中点，连接，则，，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
则，
所以三棱锥与的体积之比为，
故选：A．
7.离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若四边形与四边形全等，则（）．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
【分析】由题及图可得，联立椭圆双曲线方程，以及椭圆与双曲线渐近线方程，用表示，据此可得答案.
【详解】由图，因四边形与四边形全等，则.
将椭圆方程与双曲线方程联立：，
则，
则；
注意到双曲线渐近线方程为：，将椭圆方程与渐近线方程联立：
，
则.
因，则，
即.
所以
故选：C.
8.曲线上有不同的三点，，，且成等差数列，，则过，的直线的斜率的取值范围为（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差中项的性质，结合基本不等式即可求解.
【详解】由等差中项可得，
由于不相等，故，，
由于，所以，因此，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知一组数据1，2，3，5，6，m，若这组数据的极差是中位数的2倍，则（）．
A.m的取值范围是 B.若，这组数据的方差为
C.这组数据的上四分位数为4或 D.这组数据经过重新排列后，可能成等差数列
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，分类求出判断A；求出方差判断B；分类求出上四分位数判断C；利用等差数列定义判断D.
【详解】对于A，若极差为，则，，解得，符合题意；
若极差为，则中位数为，；
若，极差为，
而中位数为，不符合题意，因此m的取值范