2025届商城县达权店高中、丰集高中二模联考
高三数学试题卷
注意事项:
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1.2024年的高考数学将在6月7日下午进行，其中数学有12道单项选择题，如果每道选择题的答案是从A，B，C，D四个选项中随机生成，那么请你运用概率统计的知识，推断分析下列哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布（）
AAAAAAAAAAAAA B.ABCDABCDABCD
C.CDABACADCBDB D.DBCCCDCDBDBD
2.的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则为（）
A.6 B.5 C.8 D.4
3.已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（）
A.24 B.18 C.12 D.6
4.已知甲同学从学校2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（）
A. B. C. D.
5.在中，为边的中点，，则（）
A. B.
C. D.
6.已知，若，则的最小值等于（）
A. B. C. D.
7.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“”,则（）
A. B. C. D.
8.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（）
A.的最小正周期为
B.在区间上单调递增
C.的图象关于直线对称
D.的图象关于点对称
10.已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是（）
A.为偶函数
B.不等式解集为
C.在上单调递增
D.函数在零点为且，则
11.在三棱锥中，平面平面，，则（）
A.三棱锥的体积为1
B.点到直线AD的距离为
C.二面角的正切值为2
D.三棱锥外接球的球心到平面的距离为
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12.第二十一届大连国际徒步大会即将召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，若每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作，则不同的选派方案共有______种.
13.在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为______．
14.已知中，，，记，则_________；若，当最大时，___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若外接圆的直径为，求的取值范围．
16.在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点．
（1）证明：为的中点；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
17.某校高三年级拟派出甲?乙?丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中
（1）甲?乙?丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲?乙?丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值；
（3）在（2）条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列.
18.在平面直角坐标系中，动点（）与定点的距离和到直线：的距离之比是常数．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，直线与曲线的另一个交点为.
（i）求的值；
（ii）记面积为，面积为，面积为，试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求；
（3）[x]表示不