河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）
2024-2025学年高三下期五一测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合、、满足：??，则（）
A. B. C. D.
2.、是任意角，则“”是“”的（）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知复数是关于x的方程的一个根，则等于（）
A. B. C. D.5
4.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（）
A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
5.若函数为偶函数，则实数（）
A.1 B. C.－1 D.
6.不等式在区间上的整数解的个数是（）
A.674 B.676 C.1352 D.1348
7.如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（）
A. B. C. D.
8.将双曲线绕其中心旋转一个合适角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（）
A.在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
B.决定系数，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好
C样本相关系数，当时，表明成对样本数据间没有相关关系
D.经验回归方程相对于点残差为
10已知曲线，其中，则（）
A.存在α使得C为两条直线
B.存在α使得C为圆
C.若C为椭圆，则α越大，C的离心率越小
D.若C为双曲线，则α越大，C的离心率越大
11.已知面积为的边形纸片可以放入面积为的正边形边框中，则（）
A.当，时， B.当，时，
C.当，时， D.当，时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝_______．
13.在中，已知，，连接，满足，则的面积的最大值为_________．
14.某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人数
数学成绩总评非优秀人数
合计
每天都整理数学错题人数
14
不是每天都整理数学错题人数
15
20
合计
40
（1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
（2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：；
0.10
0.01
0.001
2.706
6635
10.828
（3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望.
16.已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为．
（1）求的值；
（2）证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
17.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，与平行的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）当直线不垂直于轴时，证明：直线轴；
（2）若，求；
（3）若，求．
18.在正三棱台中，，，分别是，的中点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求.
19.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理:对于任意实数，.对于无穷数列，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中