河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）
2024-2025学年高三下期05月测试（二）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题：“，”的否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
2.满足集合为的真子集且的集合的个数是（）
A.6 B.7 C.8 D.15
3.下图是2013-2020年国家财政性教育经费（单位：万元）和国家财政性教育经费占总教育经费占比的统计图，下列说法正确的是（）
A.2019年国家财政性教育经费和国家财政性教育经费占总教育经费占比均最低
B国家财政性教育经费逐年增加
C.国家财政性教育经费占比逐年增加
D.2020年国家财政性教育经费是2014年的两倍
4.已知等差数列的项数为其中奇数项之和为偶数项之和为则()
A. B. C. D.
5.已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（）
A. B.100 C. D.380
6.已知四点，，，，四边形有内切圆，则点的轨迹是（）
A.圆一部分 B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
7.赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”．亦称“赵爽弦图”．如图1，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若图2中，，则（）
A. B. C. D.
8.已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9.金刚石是天然存在最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下面说法正确的是（）
A.是的一个周期 B.的最大值为
C.是的对称轴 D.是的对称中心
11.设D是含数1有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则下列选项中的取值可能为（）
A. B.1 C. D.2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.写出一个半径为，且与直线相切于点的圆的方程：________．
13.已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为______．
14.，任意，满足，求有序数列有_____对.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
16.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．
（1）设，且，，，四点共面，求实数的值；
（2）若平面和平面所成角的余弦值为，求三棱锥的体积．
17.对于数列，定义，满足，，记，称为由数列生成的“m—函数”.
（1）试写出“2—函数”，并求的值；
（2）若“1—函数”，求n最大值.
18.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
19.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，有且只有一个零点；
（3）若在区间各恰有一个零点，求的取值范围.