小高考
2024—2025学年（下）高三第四次考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1已知复数满足，则（）
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则（）
A. B. C.或 D.或
3.圆与圆的位置关系是（）
A.相切 B.外离 C.内含 D.相交
4.已知两个不相等的向量，，若，则（）
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
6.已知数列满足，，且对任意，，则（）
A. B. C. D.
7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的体积为（）
A. B. C. D.
8.已知双曲线：（，）左、右焦点分别为，，点在上，满足，直线与轴交于点，且，则的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.在正方体中，下列结论正确的是（）
A.平面 B.平面
C.平面平面 D.平面平面
10.已知函数，则下列结论正确是（）
A.存在负数，使得没有零点 B.若恰有个零点，则
C.若恰有个零点，则 D.当时，恰有个零点
11.蔓叶线是公元前世纪古希腊数学家狄奥克勒（Diocle）为了解决倍立方问题发现的曲线，因形似植物藤蔓而得名．按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线：上取一动点，作在该动点处的切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线．下列结论正确的是（）
A.点在上
B.直线是的渐近线
C.点到上的点的距离最小值为
D.若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为________．
13.已（）是奇函数，则的最大值为________．
14.在中，角，，对边分别为，，，角的平分线与交于点，若，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知等比数列满足，且是，的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求．
16.已知函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）令函数，若，，（，）成公差为的等差数列，证明：为定值．
17.某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示．从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画○的球”．
红球
蓝球
画○
画×
（1）求和．
（2）该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖；仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖．
（ⅰ）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理；
（ⅱ）若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励元，二等奖奖励元，三等奖奖励元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过元，则的最大值为多少？
18.已知函数．
（1）若，求在上的最值．
（2）若且，关于的方程在上仅有一个实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求最大值．
19.如图，在四面体中，点在平面内的射影恰在棱上，为的中点，，，和的面积均为．
（1）若，且与均为锐角，证明：平面；
（2）若将，，三点在空间中的位置固定，试分析点的轨迹是什么曲线；
（3）求的最小值．