2025年普通高等学校招生统一考试冲刺预测模拟试卷
时间120分钟满分150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，若，则实数（）
A. B. C. D.或
【答案】C
【解析】
【分析】根据列式，由此求得的值.
【详解】由得，
所以或，
解得.
故选：C
2.已知双曲线，则的渐近线方程为是的离心率为的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义结合双曲线的几何性质判断求解即可.
【详解】充分性：当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程为，知，
所以离心率；
当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程为，知，即，
所以离心率，所以充分性不成立.
必要性：由离心率为，知，所以，
当双曲线的焦点在轴上时，渐近线方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，渐近线方程为，所以必要性不成立.
综上所述，的渐近线方程为是的离心率为的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3.若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（）
A.9 B.16 C.25 D.50
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值.
【详解】因为，
所以，则
又因为，
所以，当且仅当时，等号成立；
所以的最大值为25.
故选：C
4.已知复数z满足，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义，结合圆的性质求出最大值.
【详解】依题意，为复平面内复数对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，
是点到点的距离，而，
所以的最大值为.
故选：B
5.研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度（单位：）与其耗氧量之间的关系式为：（其中是实数），据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为.大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为（单位：），耗氧量单位数为，统计发现：与成正比.当时，.若这种鸟类与鲑鱼的速度与相同时，则与的关系是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出，可得，设，由题意得，，由得，根据对数的运算性质即可求解.
【详解】由题意得，解得，
，
设，
由题意得，解得，
，
又，
，
则，即，
，即.
故选：.
6.已知角满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，即可由和差角公式求解.
【详解】故，
因此
故选：C
7.如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得.
【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴?轴?轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，，可得，
设是平面的法向量，则，
令，则，即，
由，且，可得，
又因为，则，
由平面，可得，
解得.
解法二：如图，取中点，连接，易证，
所以平面即为平面，
易知当为的中点时，，平面，平面，
从而平面，所以.
故选：C.
8.已知数列满足，则（）
A.当时，存在使得
B.当时，存在使得
C.当时，存在正整数，当时，
D.当时，存在正整数，当时，
【答案】D
【解析】
【分析】需要根据给定的值，分析数列的性质.通过对递推式的分析和一些特殊情况的探讨,结合二次函数的性质来判断每个选项的正确性.
【详解】对于A选项,当时，.
令，.
对于二次函数，其对称轴为，最大值为.
因为，由递推关系可知，所以不存在使得，A选项错误.
对于B选项，当时，.
令，.
因为的值域为，且，所以由递推关系可知，不存在使得，B选项错误.
对于C选项，当时，.
令，.
设.
令，，对称轴为，在上递增，在上递减.
当时，的值不是恒大于的，所以不存在正整数，当时，，C选项错误.
对于D选项，当时，.
设.
因为，在上递增，在上递减.
当足够大时，会趋近于某个值（），此时会趋近于.
所以存在正整数，当时，，D选项正确.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知空间中三点，则（）
A.与向量方向相同的单位向量是
B.在上的投影向量是
C.与夹角的余弦值是
D.坐标原点关于平面的对称点是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据单位向量的定义即可判断A；