2025年高考临门一脚试题
数学
一、单选题
1.集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
，故.
故选：A.
2.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对化简后，再利用模的定义求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C
3.已知向量，，若，则（）
A. B. C. D.无法确定，与有关
【答案】C
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求得，再应用向量模长的坐标运算求.
【详解】由题，则，
所以.
故选：C
4.如图，，是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先还原几何体，然后根据三棱锥表面积的求法求得正确答案.
【详解】还原正方体如下图所示，
，，
，
所以四面体的表面积为.
故选：B
5.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（）
A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生
C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.
【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人，
文科女生有人，文科男生有人；
根据题意可知，，
根据异向不等式可减的性质有，
即有，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.
故选：C.
6.设函数，若当时，函数取得最大值，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式及诱导公式计算可得.
【详解】因为，其中，，
又当时，函数取得最大值，所以，
所以，
则
，.
故选：B
7.已知函数，若，则（）
A. B.
C. D.以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】利用求导判断单调性，再借助，然后通过数形结合，即可作出判断.
【详解】求导得，
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，
根据，，
当时，，可作出图象：
所以当时，，
根据图象可知，，
所以恒有，故B正确，
由于，，所以，故C错误，
故选：B.
8.若能被整除，则的最小正整数取值为（）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】
【分析】将合理变形，再利用二项式定理展开，进而得到的取值即可.
【详解】由题意得,
，
而一定能被整除，
只需保证能被整除即可，而，
得到，
故，
而一定能被整除，只需保证能被整除即可，
若使最小，则满足，解得，故C正确.
故选：C
二、多选题
9.掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（）
A.平均数为4，中位数为5 B.平均数为4，众数为3
C.平均数为4，方差为1.6 D.平均数为5，标准差为2
【答案】AD
【解析】
【分析】根据统计数据特征的定义，举例说明AD正确，推导出数据的矛盾说明BC错误.
【详解】对于A，有可能出现点数1，例如：1，4，5，5，5.故A正确；
对于B，因为众数为3，则点数3至少出现2次，如果点数1出现1次，那么剩下的2次都取最大点数6，平均数还是小于4，所以不可能出现过点数1，故B错误；
对于C，平均数为4，如果出现点数1，则，即方差不可能为1.6，所以不可能出现过点数1，故C错误；
对于D，有可能出现点数1，例如：1，6，6，6，6.故D正确.
故选：AD.
10.已知函数，则下列结论正确的是（）
A.的图象关于轴对称 B.是的一个周期
C.在上为增函数 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用诱导公式证明，结合偶函数定义可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用导数判断函数的单调性，求得最值，可判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，，
所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
对于B，，
所以的一个周期是，故B正确；
对于C，令，当时，在上单调递减，
且，在上单调递增，则在上单调递减，
所以在上单调递减函数，故C错误；
对于D，因为，令，
则，求导得，
由于，所以，单调递增.
当时，取得最大值；
当时，取得最小值.
因为，所以，即，故D正确.
故选：ABD.
11.已知是首项为，公比为的递增等比数列，其前项和为．若对任意的，总存在，使得，则称是“可分等比数列”，则（）
A.不是“可分等比数列” B.是“可分等比数列”
C.若是“可分等比数列”，则 D.若是“可分等比数列”，则
【答案】AC