2025届高三年级5月教学质量检测
数学
（考试时间：120分钟满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.若复数满足，则（）
A. B. C. D.
3.已知数列是等比数列，若，，则（）
A.4 B. C. D.
4.已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.有4位同学到书店购买课外书，每人购买一本，根据需求，书店有5种书适合4位同学购买，那么4位同学恰好购买了3种书的购买方法有（）
A.240种 B.360种 C.480种 D.500种
6.设双曲线：的左右焦点分别为、，过点且斜率为的直线在第一象限交于点，若，则的离心率为（）
A.2 B. C.3 D.
7.已知，其中，若，，，则的范围为（）
A. B. C. D.
8.已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，现去除其中的两个数据，去除的两个数据记为和，则下列一定正确的是（）
A.若，则极差不变 B.若，则第75百分位数不变
C.若，则平均数不变 D.若，则中位数不变
10.已知实数,满足,,，则下列正确的是（）
A. B. C. D.
11.已知，，且当时，则下列正确是（）
A. B.当时，
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，若，则________.
13.已知点在椭圆上，点在圆上，，则最大值为________.
14.已知，若，则的范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）已知面积为，为7，求边上中线长.
16.如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
17.某城市推广垃圾分类，设置智能回收箱（方式）和传统垃圾桶（方式）．统计显示，60%的居民选择方式，选择方式，若垃圾被正确分类，则垃圾被回收，不用填埋．智能回收箱的正确分类率为，错误分类后需人工处理，人工处理可将错误分类垃圾的40%重新正确分类，其余直接填埋；传统垃圾桶的正确分类率为75%，错误分类后直接填埋．
（1）求垃圾最终被填埋概率；
（2）若某吨垃圾被填埋，求其最初通过传统垃圾桶投放的概率；
（3）现有一吨垃圾要整体处理，设为其处理成本（单位：元），正确分类无需成本，人工处理成本为200元，填埋成本为500元.求的分布列及数学期望．
18.已知抛物线：，过抛物线焦点且斜率为的直线与交于，两点（点在第一象限），已知线段中点纵坐标为.
（1）求抛物线方程；
（2）点在抛物线上移动，位于，两点之间且与，两点不重合.若直线交准线于点，直线交准线于点，其中点在点上方.
（i）是否存在点，使？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（ii）求线段长度最小值.
19.已知函数
（1）证明不等式：；
（2）记，证明：；
（3）已知，证明：.