高考原创夺冠卷（三）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
满分150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．
1.的虚部为（）
A. B. C. D.
2.集合，，则（）
A. B. C. D.
3.已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（）
A B. C. D.
4.某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（）
附：，，.
A.优秀 B.良好 C.合格 D.基本合格
5.已知，则（）
A. B. C. D.
6.在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（）
A.种 B.种 C.种 D.种
7.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示．已知这两个函数图象恰有一个公共点，则下列说法正确的是（）
A.函数的最大值为 B.函数的最小值为
C.函数的最大值为 D.函数的最小值为
8.已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（）
A. B.3 C.4 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
10.设甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以，和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（）
A. B. C. D.与相互独立
11.已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（）
A.若的中点在轴上，则
B.
C.若，则椭圆离心率的取值范围是
D.若的最小值为，则椭圆的离心率为
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12.在平面直角坐标系中，已知、，，若，则实数的值为_____．
13.已知，且，，则______．
14.已知点不在函数图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.
15.如图，在三棱锥中，平面，，，，．
（1）在线段上找一点，使平面平面，求的长；
（2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
16.在中，、、分别为内角、、的对边，且．
（1）求；
（2）若，，求面积的最大值．
17.已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若在上单调递减，求的取值范围；
（3）若，存在两个极值点、，证明：．
18.已知双曲线过点，渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）．
①若为的中点，的面积为，求直线的斜率；
②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上．
19.深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率.
（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取个人，记这个人合计得分恰为分的概率为，求；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.