高考原创夺冠卷（三）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
满分150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．
1.的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用复数的乘法运算可得，即可得其虚部.
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选：B.
2.集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
，故.
故选：A.
3.已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心坐标，将圆心坐标代入抛物线方程，将抛物线方程化为标准方程，即可得出抛物线的准线方程.
【详解】圆的圆心为，
将圆心的坐标代入抛物线的方程得，解得，
故抛物线的方程为，标准方程为，
则，所以，，故抛物线的准线方程为.
故选：C.
4.某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（）
附：，，.
A.优秀 B.良好 C.合格 D.基本合格
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布的原则即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，，
因为，
所以，根据比例成绩大于分为优秀，
因为，根据比例成绩在到之间的为良好，
，根据比例成绩在到之间的为合格，
，根据比例成绩小于分为基本合格，
因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好.
故选：B.
5.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式即可.
【详解】如图，角的终边与单位圆圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点，
过作轴，交角终边于点，
则，，
则，扇形的面积为，，
由三者的大小关系可知，，即，
因，则，即.
故选：C
6.在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（）
A.种 B.种 C.种 D.种
【答案】D
【解析】
【分析】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得.
【详解】如下图，共有个点任选个有种，
每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况，
如、、分别构成一个平面，有种，
如、、、、、分别构成一个平面，有种，
综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种.
故选：D.
7.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示．已知这两个函数图象恰有一个公共点，则下列说法正确的是（）
A.函数的最大值为 B.函数的最小值为
C.函数的最大值为 D.函数的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在上单调递增，AB错误；再求导得到的单调性，得到C正确，D错误．
【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图象都在轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，
故恒成立，
故在上单调递增，则AB显然错误；
对于CD，，
由图象可知时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，也为最大值，且，C正确，D错误．
故选：C
8.已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（）
A. B.3 C.4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设为的中点，为的中点，为四面体外接球的球心，通过，同样利用进行放缩后可得最大值．
【详解】因为，四面体外接球的半径为，设球心为，设为的中点，为的中点，
则球心到的中点的距离，
球心到的中点的距离；
所以，
，
所以，又，，
所以，当且仅当与垂直，且均与垂直时取等号．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据条件列出关于和的方程组，再结合选项，即可判断.
【详解】由条件可知，，得①，
数列是以1为公差的等差数列，所以，即，
即，即②，
综合①②可知，
，，，所以ABC正确，D错误.
故选：ABC
10.设甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以，和分别表