2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟，试题
数学（二）
本试卷总分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名?考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，则（）
A. B. C. D.
2.已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（）
A. B.
C. D.
3.在中，内角的对边分别为，且，则（）
A. B. C. D.
4.如图，有一正方体形状木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（）
A.等腰三角形 B.等腰梯形
C.五边形 D.六边形
5.将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（）
A. B. C. D.1
6.子贡曰：“夫子温?良?恭?俭?让以得之”，“温?良?恭?俭?让”指五种品德：温和?善良?恭敬?节俭?谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（）
A.120种 B.210种 C.1440种 D.2880种
7.已知椭圆，直线与交于，两点，过点作与垂直的直线交于另一点，记直线的斜率为，若，则的离心率为（）
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数满足，且，记，则下列结论错误的是（）
A. B.
C.为等差数列 D.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知随机变量，则（）
A.
B.
C.
D.
10.已知函数的最小正周期为，则（）
A.
B.
C.在区间上单调递减
D.的图象关于点对称
11.设，记曲线与直线，轴所围成的封闭区域的面积为，数学家牛顿研究发现：，则（）
A B.
C.S D.
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，则的值为__________.
13.在平面直角坐标系中，点，动点满足，记点的轨迹为，直线与交于两点，若，则的值为__________.
14.在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________，三棱锥体积的最大值为__________.
四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
15.甲?乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通过，则不用参加复试，复试通过则被录用，否则不被录用.已知甲通过初试和复试的概率分别为，乙通过初试和复试的概率均为，两人是否通过面试相互独立.
（1）求甲?乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率；
（2）设两人中被录用的人数为，求的分布列及数学期望.
16.在中，为BC的中点，点满足.将沿AD折起，使点B到达点的位置，连接，如图.点满足，二面角的大小为.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线DN与平面所成角正弦值.
17.已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
18.已知抛物线的焦点为为上一点，且.
（1）求方程；
（2）过点作两条相互垂直直线分别与交于两点.
（i）证明：直线过定点；
（ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围.
19.设，数列共有k项，定义：若，且这k项的和为1，则称为“和谐数列”.记.
（1）若等差数列为“和谐数列”，，且共有6项，求的公差；
（2）若为“和谐数列”，，比较与的大小，并说明理由；
（3）若为“和谐数列”，为正项数列，证明：.