高级中学名校试卷
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江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年高二下学期
期中调研考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.展开后，共有项数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】展开后每一项都必须在以及两式中任取一项相乘，
故有项．
故选：C．
2.函数在处的导数为（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，
所以函数在处的导数为.
故选：.
3.已知随机变量，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由知，可知，故，
故成立；
反之，若，则，故为充要条件，
故选：C.
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛共有种，所选3人中没有1名女生的情况有，所以所选3人中至少有1名女生的概率是.
故选：D．
5.对一排7个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色的方法共有（）
A.35种 B.34种 C.33种 D.32种
【答案】B
【解析】因为不能有相邻的格子都染红色，所以我们对红色格子的个数进行分类讨论，
当染个红色格子时，共有种满足要求的染色的方法，
当染个红色格子时，共有种满足要求的染色的方法，
当染个红色格子时，我们采用插空法，先将个蓝色格子排列好，产生了个空，
共有种满足要求的染色的方法，
当染个红色格子时，我们采用插空法，先将个蓝色格子排列好，产生了个空，
共有种满足要求的染色的方法，
当染个红色格子时，我们采用插空法，先将个蓝色格子排列好，产生了个空，
共有种满足要求的染色的方法，
当有个或个以上的红色格子时，红色格子一定会相邻，不符合题意，故排除，
综上，由分类加法计数原理得共有种方法满足，故B正确.
故选：B
6.已知随机变量，且，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，且，，
所以，解得，即，
所以.
故选：D
7.小明等5名同学准备分别从竹海风景区、善卷洞、云湖这3个景点随机选择一个游玩，设事件“每个景点都有人去”,事件“小明独自去了一个景点”，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】5名同学从3个景点随机选择一个游玩，选法共有种，
小明选择一个景点的方法共有种，
将剩下的4名同学分成两组并分配到2个景点，选法共有种，
所以，
小明独自去一个景点，剩下的4名同学从剩下的2个景点中任选1个，
选法共有种，
所以，所以.
故选：.
8.已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】原不等式等价于，由图可知
若满足题意，只需小于与两个函数相切时的的值即可，
设公切点为，因为，，
所以，所以，所以，
令，所以，所以单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
所以，
令，则，
根据对勾函数的性质知单调递减，
所以，所以正整数的最大值为.
故选：.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知随机变量服从两点分布，且，则下列说法正确的是（）
A. B.
C D.
【答案】ACD
【解析】因为随机变量服从两点分布，所以，
对于A，由两点分布的期望公式得，故A正确，
对于B，由两点分布的方差公式得，故B错误，
对于C，由两点分布的性质得，故C正确，
对于D，由两点分布的性质得，故D正确.
故选：ACD
10.已知函数，则下列说法正确的是（）
A.在处取得极大值
B.在上单调递增
C.时，
D.时，
【答案】BC
【解析】由已知可得，，则.
解，可得.
当变化时，变化情况如下表
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由上表可知，A项错误；B项正确.
且在处取得极小值，在处取得极大值.
又，，
所以，时，在处取得最小值，在处取得最大值，即.故C正确；
对于D项，易知时，，，
此时有.故D项错误.
故选：BC.
11.已知口袋中有个黑球和个白球，这个球除颜色外完全相同，每次不放回地随机摸出一个球，连续摸两次．记事件表示“第一次摸得黑球”，记事件表示“第二次摸得黑球”．则下列说法正确的是（）
A.
B.
C.存在，，