第3节两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
【课标要求】（1）会推导两角差的余弦公式；（2）能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用.
知识点一两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1.公式C（α－β）：cos（α－β）＝.
2.公式C（α＋β）：cos（α＋β）＝.
3.公式S（α－β）：sin（α－β）＝.
4.公式S（α＋β）：sin（α＋β）＝.
5.公式T（α－β）：tan（α－β）＝.
6.公式T（α＋β）：tan（α＋β）＝.
结论两角和与差的公式的常用变形
（1）sinαsinβ＋cos（α＋β）＝cosαcosβ；
（2）cosαsinβ＋sin（α－β）＝sinαcosβ；
（3）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1?tanαtanβ）；
（4）tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan
（1）（2024·全国甲卷理8题）已知cosαcosα－sinα＝3，则tan（α＋
A.23＋1 B.23－1
C.32 D.1－
（2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α－β）＝（）
A.－3m B.－m
C.m3 D.3
听课记录
规律方法
应用三角函数公式解题的策略
（1）使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征；
（2）特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的；
（3）逆用和变形用两角和与差的三角函数公式更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.
练1（1）（人A必修一P229习题2题改编）已知0＜α＜π2＜β＜π，cosβ＝－13，sin（α＋β）＝79，则tanα
（2）tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°·tan10°＝.
知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.基本公式
（1）sin2α＝；
（2）cos2α＝＝＝；
（3）tan2α＝2tanα
2.公式变形
（1）升幂公式：1－cosα＝2sin2α2；1＋cosα＝；tanα＝2tanα21－tan2α2；1±sinα＝（
（2）降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝；tan2
提醒（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2
（1）化简1+cos4＝（）
A.sin2 B.－cos2
C.2cos2 D.－2cos2
（2）〔多选〕（2025·海口模拟）已知α∈（π，2π），sinα＝tanα2＝tanβ2，则
A.tanα＝3 B.cosα＝1
C.tanβ＝43 D.cosβ＝1
听课记录
规律方法
应用二倍角公式解题的策略
（1）注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系；
（2）结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式.
练2（1）（2024·九省联考）已知θ∈（3π4，π），tan2θ＝－4tan（θ＋π4），则1+sin2
A.14 B.
C.1 D.3
（2）〔多选〕下列各式中，值为12的是（
A.tan22
B.tan15°cos215°
C.33cos2π12－33
D.1
知识点三辅助角公式
asinα＋bcosα＝a2＋b2sin（α＋φ），其中sinφ＝ba2＋
（1）（人A必修一P220练习4题改编）求值：cos5π12－3sin5π12
A.－22 B.－
C.2 D.2
（2）若sinα＋3cosα＝1，则cos（α－π6）＝（
A.32 B.
C.－12 D.－
听课记录
规律方法
对asinx＋bcosx化简时，要清楚辅助角φ的值如何求.
练3（1）（人A必修一P254复习参考题13（2）题改编）在等式（tan10°－3）·sin（*）＝－2cos40°的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是；
（2）若函数f（x）＝Asinx－3cosx的一个零点为π3，则f（π12）＝
提能点
角的变换
（1）已知c