第4节简单的三角恒等变换
【课标要求】（1）会根据相关公式进行化简和求值；（2）会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
提能点1
三角函数式的化简
1.半角公式
sinα2＝±1－cosα2；
tanα2＝±1－cosα1+cos
2.积化和差公式
cosαcosβ＝12[cos（α＋β）＋cos（α－β
sinαsinβ＝－12
sinαcosβ＝12
cosαsinβ＝12
3.和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sinα＋β2cos
sinα－sinβ＝2cosα＋β2sin
cosα＋cosβ＝2cosα＋β2cos
cosα－cosβ＝－2sinα＋β2sin
（1）（人A必修一P225例7改编）1－sin40°＋1－cos40
A.－sin20° B.－cos20°
C.cos20° D.sin20°
（2）化简：（1+cos2α)(
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规律方法
三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次.
练1（1）化简sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－3cos（θ＋15°）＝；
（2）（人A必修一P226练习4、5题改编）cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝.
提能点2
三角函数式的求值
角度1给角求值
sin20°（3＋tan50°）＝（）
A.12B.2 C.3D.
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变式4sin10°＋3tan10°＝.
规律方法
解给角求值问题的基本思路
观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：
（1）特殊角的三角函数值；
（2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值；
（3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.
角度2给值求值
（1）（2025·襄阳模拟）已知tan（θ2－π6）＝2，则cos（θ－π3）＝（
A.35 B.－
C.45 D.－
（2）若cos（π4＋x）＝35，17π12＜x＜7π4
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规律方法
给值求值问题的解题策略
（1）此类问题的解法规律是将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条件，然后用代入法求出三角函数式的值，也可以将所求的函数式经过适当的变形，再利用条件求值；
（2）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示.
角度3给值求角
已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则cos2α＝，2α－β＝
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规律方法
“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，应遵循以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是（0，π2），选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数；若角的范围为（－π2，π2）
练2（1）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率π约355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个纪录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1－2co
A.－18 B.－
C.8 D.1
（2）（2025·烟台调研）若π4＜β＜π＜α＜3π2，且cos（α＋β）＝－210，sin2β＝45，则α
提能点3
三角恒等变换的综合应用
已知f（x）＝sin（2x－π3）＋23sin（x－π4）·cos（x＋3π
（1）求f（π3）的值
（2）若锐角α满足f（α）＝33，求sin2α的值
规律方法
进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形用.
练3已知函数f（x）＝24sin（π4－x）＋64·cos（π4
（1）求函数f（x）在区间［π4，3π2
（2）若cosθ＝45，θ∈（3π2，2π），求f（2θ＋π
提示：完成课后作业第四章第4节