重难专攻（十一）圆锥曲线中的定点、定值与定线问题
提能点1
定点问题
（2025·南平一模）已知A1（－1，0），A2（1，0），直线A1P，A2P相交于点P，且它们的斜率之积是4，记点P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）不过A1，A2的直线l与C交于M，N两点，直线MA1与NA2交于点S，点S在直线x＝12上，证明：直线l过定点
规律方法
圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P（x1，y1），利用点在曲线f（x，y）＝0上，即f（x1，y1）＝0消参；
（2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在.
练1已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1（a＞b≥1）的离心率为22，上焦点到直线bx＋2ay
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（13，0）的直线l交椭圆C于A，B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由
提能点2
定值问题
已知O为坐标原点，过点M（1，0）的直线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且OA·OB＝－3.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M作直线l⊥l交抛物线C于P，Q两点，记△OAB，△OPQ的面积分别为S1，S2，证明：1S12＋
规律方法
求解定值问题的两大途径
（1）可由特例得出一个值（此值一般就是定值），然后证明定值.将问题转化为证明待证式与参数（某些变量）无关；
（2）先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值.
练2已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，且OA·OB＝0，O为坐标原点，试证明点O到直线l的距离为定值.
提能点3
定线问题
（2025·湖北调研）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过点E（1，0）的直线l与C的左、右两支分别交于M，
（1）若P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN的斜率之积（O为坐标原点）；
（2）若A，B为双曲线的左、右顶点，且｜AB｜＝4，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上？若是，求出该定直线，若不是，请说明理由.
规律方法
1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.
2.待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数.
3.面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”.
练3（2024·郑州调研节选）已知椭圆C：x29＋y26＝1.A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点.直线l：x＝my＋1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S.当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；
提示：完成课后作业第八章重难专攻（十一）