第8节正弦定理和余弦定理的综合应用
【课标要求】正弦定理和余弦定理的综合应用是高考命题的热点，主要包括与三角形有关的证明问题、平面图形中的计算问题及三角形中的三线问题等.
提能点1
与三角形有关的证明问题
（2025·安徽质量联合检测）在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c.
（1）请用正弦定理证明：若a＞b，则A＞B；
（2）请用余弦定理证明：若A＞B，则a＞b.
规律方法
证明与三角形有关等（不等）式的一般思路
（1）利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等（不等）式转化为以角为研究对象的三角等（不等）式或以边为研究对象的代数等（不等）式；
（2）充分利用三角形中隐含条件：①A＋B＋C＝π；②A＞B?sinA＞sinB；③a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明.
练1（2022·全国乙卷文17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC·sin（A－B）＝sinBsin（C－A）.
（1）若A＝2B，求C；
（2）证明：2a2＝b2＋c2.
提能点2
平面多边形中的计算问题
（2025·梅州一模）如图，在四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.
（1）若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；
（2）若CD＝3BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.
规律方法
利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略
（1）将所给平面多边形分拆成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解；
（2）充分注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解；
（3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用；
（4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解.
练2如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝π2，B＝2π3，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝2π3
（1）求sin∠BCE的值；
（2）求CD的长.
提能点3
三角形中的三线问题
角度1三角形的角平分线问题
角平分线定理：在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，D在BC上，则有ABAC＝BD
（1）（2024·南充诊断）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，c＝4，∠BAC的平分线交边BC于点D，且AD＝2，则cos∠BAC＝；
（2）在△ABC中，A＝2B，AC＝9，BC＝12，CD平分∠ACB交AB于点D，则BD的长度为.
听课记录
规律方法
角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解.
角度2三角形的中线问题
中线长定理：在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝12（AB2＋AC2）－14BC
（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC＝（）
A.23B.43 C.22D.42
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC边上的中线，BD＝2，且acosC－2bcosB＋ccosA＝0，则△ABC的面积为.
听课记录
规律方法
三角形的中线问题的解题策略
（1）可根据两角互补或面积相等用正、余弦定理建立方程求解；
（2）采用向量法使问题简化：在△ABC中，若D为边BC的中点，则AD＝12（AB＋AC），两边平方即可得到三角形边长之间的关系
（3）利用中线长定理求解.
角度3三角形的高线问题
在△ABC中，若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝1a∶1b∶1c＝1sinA
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，△ABC三边上的高之比为2∶3∶4.
（1）求cosC的值；
（2）若E为边AC上一点，∠CEB＝30°，BC＝3，求BE的长.
规律方法
利用三角形高线解三角形的一般思路
（1）构建直角三角形；
（2）利用三角形的面积S＝12aha
（3）三角形三条高线交于一点（此点为该三角形的垂心）；
（4）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度.
练3在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知C＝120°，△ABC的周长为15，面积为1534.
（1）求△ABC的外接圆面积；
（2）设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线