第3节两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
【课标要求】（1）会推导两角差的余弦公式；（2）能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用.
知识点一两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1.公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
2.公式C（α＋β）：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ.
3.公式S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ.
4.公式S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
5.公式T（α－β）：tan（α－β）＝tanα－
6.公式T（α＋β）：tan（α＋β）＝tanα＋
结论两角和与差的公式的常用变形
（1）sinαsinβ＋cos（α＋β）＝cosαcosβ；
（2）cosαsinβ＋sin（α－β）＝sinαcosβ；
（3）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1?tanαtanβ）；
（4）tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan
（1）（2024·全国甲卷理8题）已知cosαcosα－sinα＝3，则tan（α＋π4
A.23＋1 B.23－1
C.32 D.1－
解析：（1）根据题意有cosα－sinαcosα＝33，即1－tanα＝33，所以tanα＝1－33，所以tan（α＋π4）＝tanα
（2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α－β）＝（A）
A.－3m B.－m
C.m3 D.3
解析：（2）因为cos（α＋β）＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，而tanαtanβ＝2，即sinαsinβcosαcosβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，从而cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝3cosαcosβ
规律方法
应用三角函数公式解题的策略
（1）使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征；
（2）特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的；
（3）逆用和变形用两角和与差的三角函数公式更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.
练1（1）（人A必修一P229习题2题改编）已知0＜α＜π2＜β＜π，cosβ＝－13，sin（α＋β）＝79，则tanα＝
解析：（1）由题意知sinβ＝223，∵0＜α＜π2＜β＜π，∴π2＜α＋β＜3π2，又sin（α＋β）＝79，∴cos（α＋β）＝－429，∴sinα＝sin[（α＋β）－β]＝sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝79×（－13）＋429×223＝1
（2）tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.
解析：（2）原式＝tan10°tan20°＋tan60°（tan20°＋tan10°）＝tan10°tan20°＋3tan（20°＋10°）（1－tan20°tan10°）＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.
知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.基本公式
（1）sin2α＝2sinαcosα；
（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
（3）tan2α＝2tanα
2.公式变形
（1）升幂公式：1－cosα＝2sin2α2；1＋cosα＝2cos2α2；tanα＝2tanα21－tan2α2；1±sinα＝
（2）降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1+cos2α2；tan2
提醒（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2
（1）化简1+cos4＝（D）
A.sin2 B.－cos2
C.2cos2 D.－2cos2
解析：（1）因为1+cos4＝2cos22，又cos2＜0，
（2）〔多选〕（2025·海口模拟）已知α∈（π，2π），sinα＝tanα2＝tanβ2，则（
A.tanα＝3 B.cosα＝1
C.tanβ＝43 D.cosβ＝1
解析：（2）因为sinα＝tanαcosα＝tanα2，所以cosα＝12，又α∈（π，2π），