三元基本不等式、柯西不等式与权方和不等式
一、三元基本不等式及应用
1.三元基本不等式：当a＞0，b＞0，c＞0时，a3＋b3＋c3≥3abc，a＋b＋
2.推广：n元基本不等式：a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an（a1，a2，
（1）已知x，y，z是正实数，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的最大值是（D）
A.lg3 B.3lg3C.lg2 D.3lg2
（2）若x＞0，则函数f（x）＝x2＋4x的最小值为334
解析：（1）lgx＋lgy＋lgz＝lg（xyz），又x＋y＋z≥33xyz，∴xyz≤8，当且仅当x＝y＝z＝2时等号成立，∴lgx＋lgy＋lgz≤lg8＝3lg2，故选D
（2）f（x）＝x2＋4x＝x2＋2x＋2x≥334，当且仅当x
二、柯西不等式及应用
1.二维形式的柯西不等式
（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立）.
2.二维形式的柯西不等式的变式
（1）a2＋b2·c2＋d2≥｜ac＋bd｜（a，b，c，d∈R，
（2）a2＋b2·c2＋d2≥｜ac｜＋｜bd｜（a，b，c，d∈R，
（3）（a＋b）（c＋d）≥（ac＋bd）2（a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立）.
3.二维形式的柯西不等式的向量形式
｜α·β｜≤｜α｜｜β｜（当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立）.
（1）已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为（D）
A.12 B.
C.1732 D.
（2）设a＝（1，－2），b＝（x，y），若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为45.
解析：（1）由（x＋3y）2≤（4x2＋y2）（14＋9），∴4x2＋y2≥16×437＝6437，当且仅当y＝12x，即x＝437，y＝4837时，等号成立，∴4x2＋
（2）∵a＝（1，－2），b＝（x，y），∴a·b＝x－2y.由柯西不等式的向量形式可得[12＋（－2）2]（x2＋y2）≥（x－2y）2，即5×16≥（x－2y）2，∴－45≤x－2y≤45（*），当且仅当b＝ka，即x＝455，y＝－855时，（*）式中右边等号成立，或x＝－455，y＝855时
三、权方和不等式及应用
1.二维形式：已知x，y，a，b∈R＋，则有ax＋by≥（a＋b）2x＋y（当且仅当x
2.一般形式：设ai，bi∈R＋（i＝1，2，…，n），实数m＞0，则∑i=1naim+1bim≥（∑i=1nai）m+1（
（1）已知正数x，y满足x＋y＝1，则1x2＋8y2的最小值为（
A.9 B.18
C.27 D.36
解析：（1）1x2＋8y2＝13x2＋23y2≥（1+2）3（x＋y）
（2）已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则2a＋b＋2b＋c＋2
A.1 B.3
C.6 D.9
解析：（2）∵a＋b＋c＝1，∴2a＋b＋2b＋c＋2a＋c＝2（12a＋b＋12b＋c＋
1.若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则（1－a）（1－b）·（1－c）的最大值为（）
A.89 B.
C.827 D.
解析：C由于a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1.所以（1－a）（1－b）·（1－c）≤［（1－a）＋（1－b）＋（1－c）3］3＝（23）3＝827，当且仅当1－a＝1－b＝
2.已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为
A.9 B.18
C.27 D.36
解析：D1x＋4y＋9z＝12x＋22y＋32z≥（1+2+3）2x＋y＋z＝36，当且仅当1x＝
3.已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为3.
解析：（ax＋by＋cz）2≤（a2＋b2＋c2）·（x2＋y2＋z2）＝9，∴ax＋by＋cz≤3，当且仅当a＝3x，b＝3y，c＝3z时取“＝”，∴ax＋by＋cz的最大值为3.
4.函数f（x）＝2x＋91－2x（0＜x＜12
解析：由权方和不等式，当a，b，x，y＞0，则a2x＋b2y≥（a＋b）2x＋y，当且仅当ax＝by时，等号成立，又0＜x＜12，即1－2x＞0，于是得f（x）＝222x＋321－2x≥（2+3）22x＋（1－2x