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2025新高考1卷压轴19题
多维解析及试题探源
【试题呈现】
（新高考1卷第19题）
求函数在区间的最大值；
给定和，证明：存在，使得；
设，若存在使得对恒成立，求的最小值.
【多维解析】
第1步：求极值
，令，得：，则有或（），即：或；
第2步：确定区间内函数最大值
因为，所以或，，，，所以，函数在区间的最大值为.
（2）第1步：定义集合
设，在内，S对应的是，长度为；
第2步：补集分析
补集在内是，每个小段的长度为；由余弦函数的周期性，可以表示为，
相邻区间间距为，；
第3步：目标区间分析
区间，假设与没有交集，即完全包含在中，
因为是由许多长度为的小区间组成的，而的长度是，所以不可能完全包含在任何一个长度为的小区间内；因此，该假设不成立，必须与有交集，即：存在，使得.
【第2问得分保障】
本题第2问，当考生无法打开解题思路时，可以从简单的、特殊情况开始尝试，如：当，则，满足的在，对于任意的，区间的长度是，因为的长度也是，所以无论怎样平移，这两个区间都会有重叠的部分。就是：“给定和，存在，使得”。
据此，打开解题思路，再按照一般情况去书写。
理解题意：要找到最小的实数，使得存在使得对恒成立，换句话说，就是：我们需要调整参数的值，使得函数的最大值尽可能小，这个最小的最大值就是的最小值；
分步解题：
第1步：求极值点
令，即：
解得：或，（）
即：或，（）
第2步：计算极值点的函数值
当，即时，，；
当，即时，，；
第3步：分析最大值
函数的最大值出现在极值点，因此我们需要比较和的最大值，由于的系数更大，因此的最大值主要由决定，我们让尽可能小，也就是让尽可能小；
第4步：调整参数，使得函数的最大值尽可能小
当时，极值点为，在这些点上，的最大值是
因此的最大值为；
对于其他的，的最大值不会小于，因此的最大值不会小于.
【第3问得分保障】
本题第3问，当考生无法打开解题思路时，可以从简单的、特殊情况开始尝试，如：时，，计算可知：的最大值确实是.对于其他的，的最大值不会比更小；
第（1）问的设置，也为第（3）问做好铺垫，.