第2课时双曲线的综合问题
直线与双曲线的位置关系
【例1】（1）（2023·全国甲卷8题）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为5，C的一条渐近线与圆（x－2）2＋（y－3）2＝1交于A，B两点，则
A.55 B.2
C.355
（2）（2024·长春质检）已知双曲线C：x2－y24＝1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有
答案：（1）D（2）4
解析：（1）法一根据双曲线的离心率e＝5＝ca，得c＝5a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，b2a2＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交.由y=2x，（x－2）2＋（y－3）2=1，得5x2－16x＋12＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝165，x1x2
法二由法一知，圆心（2，3）到渐近线y＝2x的距离d＝｜2×2－3｜22＋(-1）2＝55，
（2）当直线l斜率不存在时，直线方程为x＝1，显然与双曲线只有一个公共点（1，0）；当直线l斜率存在时，设直线l方程为y－1＝k（x－1），与双曲线方程联立，消y得（4－k2）x2＋2k（k－1）x－（k2－2k＋5）＝0，当4－k2＝0，即k＝±2时，方程有唯一实根，符合题意；当4－k2≠0，即k≠±2时，若方程有唯一实根，则Δ＝4k2（k－1）2＋4（4－k2）（k2－2k＋5）＝0，解得k＝52.故满足与C有且只有一个公共点的直线l共有4条
解题技法
直线与双曲线位置关系问题的解题策略
（1）直线与双曲线位置关系的判断方法：将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例：①若a≠0且Δ＞0，直线与双曲线相交，有两个公共点；②若a≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；③若a≠0且Δ＜0，直线与双曲线相离，没有公共点；④若a＝0，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点；⑤若a＝0且b＝0，直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点；
（2）对于双曲线中的弦长和中点弦等问题，可以类比椭圆的处理思路，借助方程思想，将问题进行化归转化.
已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的其中一个焦点为（5，0），一条渐近线方程为
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知倾斜角为3π4的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求直线l
解：（1）由焦点可知c＝5，
又一条渐近线方程为2x－y＝0，所以ba＝2
由c2＝a2＋b2可得5＝a2＋4a2，解得a2＝1，b2＝4，
故双曲线C的标准方程为x2－y24
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点的坐标为（x0，4），
则x12－y124
x22－y224
②－①得x22－x12＝
即k＝4x04＝x0，又k＝tan3π4＝－1，所以
所以直线l的方程为y－4＝－（x＋1），即x＋y－3＝0.
双曲线中的最值（范围）问题
【例2】（1）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝36的左、右焦点，A是双曲线C右支上（顶点除外）任意一点，若∠F1AF2的角平分线与以AF1为直径的圆交于点B，则△BF1F2的面积的最大值为（）
A.182 B.183
C.362 D.363
（2）已知直线l过双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于P，Q两点，若（QP＋QF2）·PF2＝0，其中∠PQF2∈
答案：（1）C（2）[6，22）
解析：（1）由题可知，C的实轴长2a＝12，｜F1F2｜＝122.如图，延长AF2，F1B交于点D，∵点B在以AF1为直径的圆上，∴AB⊥F1B，又AB为∠F1AF2的角平分线，∴｜AF1｜＝｜AD｜，B为F1D的中点.连接OB，则OB是△DF1F2的中位线.由双曲线的定义知｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝12，故｜F2D｜＝｜AD｜－｜AF2｜＝｜AF1｜－｜AF2｜＝12，∴｜OB｜＝12｜F2D｜＝6，故点B的轨迹是以原点O为圆心，6为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝36.显然，当点B的坐标为（0，6）或（0，－6）时，△BF1F2的面积取得最大值，最大值S＝12｜F1F2｜×6＝12×122×6＝
（2）如图，∵（QP＋QF2）·PF2＝0，∴｜QP｜＝｜QF2｜，又｜QF1｜－｜QF2｜＝2a＝｜PF1｜，则有｜PF1｜＝2a，｜PF2｜＝4a，不妨设∠F1PF2＝θ，则有∠F1QF2＝π－2（π－θ）∈［π3，π），可得θ∈［2π3，π），在△F1PF2中，由余弦定理可知，cosθ＝16a2+4a2－4c216a2∈（－