§8.9直线与圆锥曲线的位置关系
课标要求1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交?Δ0；直线与圆锥曲线相切?Δ＝0；直线与圆锥曲线相离?Δ0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
2.弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝(
＝1＋k2|x1－x
＝1＋k
或|AB|＝1＋1k2|y1－
＝1＋1
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点1，12的直线一定与椭圆x22＋y2＝1相交
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.(×)
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(√)
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(√)
2.若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋
A.63 B.－
C.±63 D.±
答案C
解析由y
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±63
3.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是()
A.2 B.4
C.8 D.16
答案C
解析联立y
消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝1＋k2(
4.已知点A，B是双曲线C：x22－y23＝1上的两点，线段
A.23 B.
C.49 D.
答案D
解析方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵点A，B是双曲线C上的两点，
∴x122－y
两式相减得
(x
∵M(3，2)是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴6(x
∴kAB＝y1
方法二由kAB·kOM＝b2
得kAB＝32·1kOM
题型一直线与圆锥曲线的位置关系
例1(1)已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为x29＋y24＝1，则直线
A.相离 B.相交
C.相切 D.不能确定
答案B
解析直线l：mx＋y＋2m＝1，
即m(x＋2)＋y－1＝0，
令x＋2＝0,
则直线l过定点(－2，1)，
因为(?2)2
则该定点在椭圆内，
则直线l与椭圆C的位置关系为相交.
(2)已知双曲线C：x29－y216＝1，过点P(3，3)作直线l，使l与
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
答案D
解析由题意知双曲线的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点A(3，0)，渐近线方程为y＝±43x
由P(3，3)可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线(图1)，
有两条双曲线右支的切线(图2)，共4条.
思维升华(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
跟踪训练1(1)(2024·宿迁模拟)已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的()
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
解析由于过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为x＝m；
当直线的斜率存在时，设直线为y－1＝k(x－m)，
则y
消去y整理得x2－kx＋km－1＝0，
所以Δ＝0，即关于k的方程k2－4km＋4＝0有两个不同的解，
所以Δ10即16m2－160，
解得m－1或m1，
所以“m1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.
(2)直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆x24＋y2
A.(1，4] B.[1，4)
C.[1，4)∪(4，＋∞) D.(4，＋∞)
答案C
解析由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，要使直线y＝kx＋1与椭圆x24
则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即m0,m≠4,12m
故实数m的取值范围为[1，4)∪(4，＋∞).
题型二弦长问题
例2(1)经过椭圆x22＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段
A.47 B.
C.2 D.16
答案B
解析在椭圆x22＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，所