第8节正弦定理和余弦定理的综合应用
【课标要求】正弦定理和余弦定理的综合应用是高考命题的热点，主要包括与三角形有关的证明问题、平面图形中的计算问题及三角形中的三线问题等.
提能点1
与三角形有关的证明问题
（2025·安徽质量联合检测）在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c.
（1）请用正弦定理证明：若a＞b，则A＞B；
（2）请用余弦定理证明：若A＞B，则a＞b.
证明：（1）由asinA＝bsinB，a＞b得sinA＞
①若A，B∈（0，π2］，则由y＝sinx在（0，π2］上单调递增，得A＞
②若A∈（0，π2］，B∈（π2，π），则sinA＞sinB＝sin（π－
此时π－B∈（0，π2），由y＝sinx在（0，π2］上单调递增，得A＞π－B?A＋B＞π，
③若B∈（0，π2］，A∈（π2，π），则sinA＝sin（π－A）＞sin
此时π－A∈（0，π2），由y＝sinx在（0，π2］上单调递增，得π－A＞B，A＋B＜π，则A＞B
综上，若a＞b，则A＞B.
（2）由y＝cosx在（0，π）上单调递减，得cosA＜cosB，
则b2＋c2－a22bc＜a2＋c2－b22ac，则a（b2
即ab（b－a）＋c2（a－b）＋（b－a）（a2＋b2＋ab）＜0，
即（b－a）[（a＋b）2－c2]＝（b－a）（a＋b＋c）（a＋b－c）＜0.
而a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，因此a＞b.
规律方法
证明与三角形有关等（不等）式的一般思路
（1）利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等（不等）式转化为以角为研究对象的三角等（不等）式或以边为研究对象的代数等（不等）式；
（2）充分利用三角形中隐含条件：①A＋B＋C＝π；②A＞B?sinA＞sinB；③a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明.
练1（2022·全国乙卷文17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A－B）＝sinBsin（C－A）.
（1）若A＝2B，求C；
解：（1）由A＝2B，A＋B＋C＝π可得A＝2π－
将A＝2B代入sinCsin（A－B）＝sinBsin（C－A）可得sinCsinB＝sinBsin（C－A），
因为B∈（0，π），sinB≠0，所以sinC＝sin（C－A），
又A，C∈（0，π），所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π，
与A＝2π－2C3联立，
（2）证明：2a2＝b2＋c2.
解：（2）证明：法一由sinCsin（A－B）＝sinBsin（C－A）可得，
sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，
由正弦定理可得，accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，
即accosB＋abcosC＝2bccosA.（*）
由余弦定理得，accosB＝a2＋c2－b22
2bccosA＝b2＋c2－a2，
代入（*）式并整理得，2a2＝b2＋c2.
法二因为A＋B＋C＝π，
所以sinCsin（A－B）＝sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin2B，
sinBsin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin2A，
又sinCsin（A－B）＝sinBsin（C－A），
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
提能点2
平面多边形中的计算问题
（2025·梅州一模）如图，在四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.
（1）若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；
解：（1）在△ABC中，cosB＝AB2＋BC
因为0°＜B＜180°，所以B＝120°.
S△ABC＝12AB·BCsin120°＝12×3×1×32
（2）若CD＝3BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.
解：（2）由（1）知B＝120°，设∠ACB＝θ，
则∠ACD＝120°－θ，D＝30°＋θ，
∠BAC＝60°－θ.
在△ACD中，由ACsin（30
得AC＝sin（30
在△ABC中，由ACsin120°＝
得AC＝sin120°sin
联立上式，并由CD＝3BC得sin（30°＋θ）sin（60°－θ）＝14
所以sin（60°＋2θ）＝12
由题可知0°＜θ＜60°，
所以60°＜60°＋2θ＜180°，
所以60°＋2θ＝150°，
解得θ＝45°，
即∠ACB＝45°.
规律方法
利