进阶2与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题
解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法：
(1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解；
(2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围.
常见的方法：①基本不等式法；②利用函数单调性；③配方法；④换元法；⑤判别式法；⑥导数法；⑦利用三角函数有界性.
题型一与弦长、周长有关的范围(最值)问题
例1(2024·衢州模拟)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(ab0)的离心率为22，斜率为12的直线l与y轴交于点P，l与C交于A，B两点，T是A关于x轴的对称点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当P异于O点时，记直线BT与x轴交于点Q，求△OPQ周长的最小值.
解(1)当P与坐标原点O重合时，可设A(x0，y0)(x00)，
则有B(－x0，－y0)，
T(x0，－y0)，
且x0＝2y0，AT⊥BT，
则S△ABT＝12|AT|·|BT|＝12·2y0·2x0＝
即2y02＝49，
则有29a2＋89b
则a2＝2c2＝b2＋c2，∴a2＝2b2，
即有19b2＋89b2＝1，解得b2＝
即椭圆C的方程为y22＋x2＝
(2)设直线l的方程为x＝2y＋t(t≠0)，令x＝0，有y＝－t2，即yP＝－t
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则T(x1，－y1)，
联立直线l与椭圆方程x
消去x得9y2＋8ty＋2t2－2＝0，
有y1＋y2＝－8t9，y1y2＝
Δ＝64t2－36(2t2－2)0，得－3t3，
直线BT的方程为y＝y2＋y1x2-x1(
令y＝0，xQ＝x1y2-x2
由x＝2y＋t，
得x
＝4y1y2y1＋y2＋t＝4×
则C△OPQ＝|yP|＋|xQ|＋|
＝t2＋1t＋t
当且仅当t＝±2时等号成立，
故△OPQ周长的最小值为2＋1.
思维升华利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
(1)设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ的判断；
(3)列出根与系数的关系；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的形式；
(5)代入根与系数的关系求解.
跟踪训练1(2025·衡阳模拟)已知抛物线C：x2＝4y，过点D(0，2)的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，直线l1与l2交于点M.
(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2＝－2；
(2)设线段AB的中点为N，求|MN||AB|的取值范围
(1)证明由题意知，直线l的斜率存在，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋2，
由y＝kx＋2,x2＝4y,得
Δ＝16k2＋320，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，
由y＝14x2，得切点Ax1，x
y＝12x，所以切线l1的斜率k1＝12x
切线l2的斜率k2＝12x2
所以k1k2＝14x1x2＝14×(－8)＝－
(2)解由(1)可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝4(k2＋1)，
故y1＋y22＝2(k2＋1)，N(2k，2(k
由(1)得l1：y－x124＝x12
可化为y＝12x1x－x12
同理得l2：y＝12x2x－x22
由①②，得x＝x1＋x22＝2k，y
即M(2k，－2)，
则|MN|＝2(k2＋1)＋2＝2(k2＋2)，
|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝
＝k2＋1·(4k
所以|MN||AB|
由k2≥0，k2＋1≥1，得01k2＋
故|MN||AB|∈1
即|MN||AB|的取值范围为1
题型二与距离、面积有关的范围(最值)问题
例2已知P(0，2)和Q(2，1)为椭圆C：x2a2＋y2b2
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设直线l：y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围.
解(1)因为P(0，2)和Q(2，1)为椭圆C：x2a2＋y2b2＝
所以2b2
又因为a2＝b2＋c2，所以c2＝2.
所以椭圆C的方程为x24＋y22＝
(2)联立方程y
消去y得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，
因为Δ＝(4k)2－4×(1＋2k2)×(－2)＝32k2＋80，
所以设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－4k1＋2k2，x
所以|AB|＝k
＝k2＋1
又因为点O到直线l：y＝kx＋1的距离为d＝1k
所以△AOB的面积S＝12×d×|AB
＝12×1k2＋
＝24
令t＝4k2＋1(t≥1)，
则S＝24t
当且仅当t
也就