极化恒等式的应用
极化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14
在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则
(1)平行四边形模式：AB·AC＝14(|AD|2－|BC
(2)三角形模式：AB·AC＝|AO|2－14|BC
题型一求数量积
[典例1](1)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()
A．1B．2C．3D．5
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·
[听课记录]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用极化恒等式求数量积的步骤
(1)取第三边的中点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
[跟进训练]
1．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若AB·AD＝－7，则
题型二求数量积的最值(范围)
[典例2]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB+PC
A．－2 B．－32
C．－43
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利用极化恒等式求数量积的最值(范围)的关键在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解．
[跟进训练]
2．(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]