一、单选题
1．若一个长方体的长、宽、高分别为4，eq\r(5)，2，且该长方体的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()
A．18π B．20π
C．24π D．25π
答案D
解析由题意，长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，则球心O为体对角线交点，半径为体对角线的一半，即球O的半径r＝eq\f(\r(42＋?\r(5)?2＋22),2)＝eq\f(5,2)，则球O的表面积S＝4πr2＝25π.
2．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为()
A．1∶2∶3 B．1∶eq\r(2)∶eq\r(3)
C．1∶eq\r(3,4)∶eq\r(3,9) D．1∶2eq\r(2)∶3eq\r(3)
答案A
解析设立方体是以2为棱长的正方体，则R甲＝1，R乙＝eq\r(2)，R丙＝eq\r(3)，所以Req\o\al(2,甲)∶Req\o\al(2,乙)∶Req\o\al(2,丙)＝1∶2∶3.
3．(2025·江苏南京模拟)若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为()
A．24 B．32
C．96 D．128
答案C
解析如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥P－ABCD的外接球球心在PG上，
由题意知球O的半径PO＝AO＝5，OG＝8－5＝3，
所以AG＝eq\r(52－32)＝4，PA＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)，则AB＝8×eq\f(\r(2),2)＝4eq\r(2)，
故在△PAB中，边AB上的高为eq\r(?4\r(5)?2－?2\r(2)?2)＝6eq\r(2)，
所以该正四棱锥的侧面积为4×eq\f(1,2)×4eq\r(2)×6eq\r(2)＝96.
4．如图所示，一个工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4eq\r(,3)的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的体积为()
A．eq\f(32π,3) B．eq\f(256π,3)
C．eq\f(192\r(,6)π,3) D．eq\f(1536\r(,6)π,3)
答案B
解析设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即2eq\r(,3)，根据截面圆的周长可得4π＝2πr，解得r＝2.由题意知R2＝r2＋(2eq\r(,3))2＝22＋(2eq\r(,3))2＝16，所以R＝4，所以球的体积V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(256π,3).
二、多选题
5．如图，已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝2，则下列叙述正确的是()
A．该四棱台的高为eq\r(3)
B．该四棱台的侧面积为6eq\r(7)
C．该四棱台的内切球半径为eq\f(\r(3),2)
D．该四棱台外接球的体积为eq\f(32,3)π
答案ABD
解析因为四边形ABCD，四边形A1B1C1D1均为正方形，AA1＝BB1＝CC1，所以该四棱台ABCD－A1B1C1D1为正四棱台．
由棱台性质画出切割前的四棱锥，
由于AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，可知△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2，则SA＝2AA1＝4，AO＝2，则SO＝2eq\r(3)，则OO1＝eq\r(3)，所以该四棱台的高为eq\r(3)，A正确；
该四棱台的侧面积S侧＝4×eq\f(\r(2)＋2\r(2),2)×eq\f(\r(14),2)＝6eq\r(7)，B正确；
该四棱台的高为eq\r(3)，若存在内切球，则半径为eq\f(\r(3),2)，而OO1的中点到侧面的距离为eq\f(3\r(21),14)，不等于eq\f(\r(3),2)，所以C错误；
因为四棱台上、下底面都是正方形，所以其外接球的球心在直线OO1上，在平面B1BOO1上，OO1＝eq\r(3)，B1O1＝1，则OB1＝2＝OB，即点O到点B与点B1的距离相等，则外接球的半径r＝OB＝2，所以该四棱台外接球的体积为eq\f(32,3)π，D正确．
6．在正六棱锥P－ABCDEF中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则()
A．该正六棱锥的高为eq\r(3)
B．该正六棱锥的体积为eq\f(9,2)
C．该正六棱锥的内切球的半径为eq\f(\r(15)－\r(3),4)
D．该正六棱锥的外接球的表面积为eq\f(16π