9.8条件概率
课标要求
精细考点
素养达成
1.会判断独立事件
独立事件
提升学生的数学运算、数学建模及逻辑推理等素养
2.通过对具体情境的分析了解条件概率的定义，掌握求条件概率的两种方法，能够利用条件概率解决一些实际问题
条件概率的计算、应用
通过概率计算，培养学生的数学运算素养
3.了解全概率公式，会用公式求解实际问题
全概率公式
通过分析问题判断是条件概率或全概率，再利用公式求解，培养学生的数学建模素养
1．(概念辨析)(多选)下列选项正确的是()
A．若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1
B．事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生
C．P(A|B)＝P(B|A)
D．P(AB)＝P(B|A)P(A)
答案BD
2．(对接教材)夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，且两地同时下雨的概率为eq\f(1,6)，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为()
A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,2)
C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)
答案C
解析记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，
所以P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(AB)＝eq\f(1,6)，
在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为P(A|B)＝eq\f(P?AB?,P?B?)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,4))＝eq\f(2,3).
3．(对接教材)盒中有a个红球，b个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取1球，则第二次抽出的是黑球的概率是()
A．eq\f(b,a＋b＋c) B．eq\f(b,a＋c)
C．eq\f(b,a＋b) D．eq\f(b＋c,a＋b＋c)
答案C
解析设事件A＝“第一次抽出的是黑球”，事件B＝“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋eq\x\to(A)B，由全概率公式得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．由题意得P(A)＝eq\f(b,a＋b)，P(B|A)＝eq\f(b＋c,a＋b＋c)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(a,a＋b)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(b,a＋b＋c)，所以P(B)＝eq\f(b?b＋c?,?a＋b??a＋b＋c?)＋eq\f(ab,?a＋b??a＋b＋c?)＝eq\f(b,a＋b).
4．(真题演练)(2023·全国甲卷数学(理))有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部．若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()
A．0.8 B．0.4
C．0.2 D．0.1
答案A
解析两个俱乐部都报名的人数为50＋60－70＝40，记“某人报足球俱乐部”为事件A，记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B，则P(A)＝eq\f(50,70)＝eq\f(5,7)，P(AB)＝eq\f(40,70)＝eq\f(4,7)，所以P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)＝eq\f(\f(4,7),\f(5,7))＝0.8.
5．(易错自纠)学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是eq\f(3,4)，如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是eq\f(1,4).若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是eq\f(3,4)，则他午餐在B餐厅用餐的概率是()
A．eq\f(3,8) B．eq\f(5,8)
C．eq\f(7,16) D．eq\f(9,16)
答案A
解析设A1＝“早餐去A餐厅用餐”，B1＝“早餐去B餐厅用餐”，A2＝“午餐去A餐厅用餐”，B2＝“午餐去B餐厅用餐”，且P(A1)＋P(B1)＝1，根据题意得P(A1)＝eq\f(3,4)，P(B1)＝eq\f(1,4)，P(A2|A1)＝eq\f(3,4)，P(A2|B1)＝eq\f(1,4)，由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,8)，所以P(B2)＝1－P(A2)＝1－eq\f(5,8)＝eq\f(3,8).
独立事件
典例1(1)若P(A)＝eq\f(1,3)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,4)，P(A＋B)＝eq\f(5,6)，则事件A与B的关系为()
A．相互独立 B．互为对立
C．互斥 D．无法判断
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