7.6球eq\a\vs4\al\co1()
课标要求
精细考点
素养达成
1．认识球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构
2．知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题
3．能用斜二测画法画出简单空间图形(球)及其简单组合体的直观图
球的简单性质及体积、表面积
通过对球的性质的理解、体积与表面积的计算，培养数学抽象、直观想象、数学运算素养
外接球问题
通过确定几何体的外接球，培养直观想象、数学运算素养
内切球问题
通过确定几何体的内切球，培养直观想象、数学运算素养
1．(概念辨析)(多选)下列结论正确的是()
A．用任一平面截球，截面都是圆面
B．过四点有且只有一个球
C．任意的三棱锥都有内切球和外接球
D．任意的四棱锥都有内切球和外接球
答案AC
解析对于A，因为过球心的任意一条直径都可以作为球的旋转轴，所以截面为圆面，故A正确；
对于B，当四点共线时不存在外接球，当四点共圆时存在无数个外接球，故B错误；
对于C，三条侧棱的垂直平分面相交于一点，所以有外接球，三个侧面与底面所成二面角的平分面相交于一点，所以存在内切球，所以C正确；
对于D，由C可知再增加一条侧棱则不一定有外接球，故D错误．
2．(对接教材)设点P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝1m，则球的体积为________m3，表面积为________m2.
答案eq\f(\r(3),2)π3π
解析以PA，PB，PC为三条相邻棱作正方体，则O为正方体的中心，因此球的半径为eq\f(\r(3),2)m，体积为eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3),2)π(m3)，表面积为4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝3π(m2)．
3．(对接教材)如果钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，那么它的体积约增加()
A．eq\f(1,1000) B．eq\f(2,1000)
C．eq\f(3,1000) D．eq\f(4,1000)
答案C
解析eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1001,1000)))3－1,1)≈eq\f(3,1000)，故选C．
4．(易错自纠)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()
A．9π B．eq\f(9π,2)
C．eq\f(972,125)π D．eq\f(32π,3)
答案B
解析要使球的体积最大，必须使球的半径最大．设球的半径为R，因为△ABC的内切圆半径为eq\f(6＋8－10,2)＝2，所以R≤2，由题意易知当球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的直径取得最大值3，所以R≤eq\f(3,2)，所以Vmax＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).
5．(真题演练)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________.
答案[2eq\r(2)，2eq\r(3)]
解析由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间(包含棱切球半径和外接球半径)．设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝eq\r(2)×4，所以r＝2eq\r(2)；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以(2R)2＝42＋42＋42，所以R＝2eq\r(3).所以球O的半径的取值范围是[2eq\r(2)，2eq\r(3)].
球的性质及体积、表面积
典例1平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为()
A．eq\r(6)π B．4eq\r(3)π
C．4eq\r(6)π D．6eq\r(3)π
答案B
解析如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任意一点，则OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，
所以OM＝eq\r(?\r(2)?2＋1)＝eq\r(3)，即球的半径为eq\r(3)，
所以球的体积V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.
球的截面问题的解题技巧
(1)球的任何截面都是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直