重难专攻（十）圆锥曲线中的最值（范围）问题
提能点1
几何法求最值（范围）
已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x－3）2＋（y－2）2＝1上任意一点，则｜MN｜－｜MF1｜的最小值为22－
解析：如图所示，由题意得｜MF1｜＋｜MF2｜＝4，｜MN｜≥｜ME｜－1，当且仅当M，N，E三点共线，且N在线段ME上时取等号，所以｜MN｜－｜MF1｜＝｜MN｜－（4－｜MF2｜）＝｜MN｜＋｜MF2｜－4≥｜ME｜＋｜MF2｜－5≥｜EF2｜－5，当且仅当M，N，E，F2共线，且M，N在线段EF2上时取等号，因为F2（1，0），E（3，2），所以｜EF2｜＝（3－1）2＋（2－0）2＝22，所以｜MN｜－｜
规律方法
若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直线与曲线的定义、图形、几何性质来解题.
练1已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点（A在B的右边），P为C上一点，若5AB＝8QB，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为3.
解析：由题意，得焦点F（1，0），又因为直线的倾斜角为60°，得斜率k＝tan60°＝3，故直线AB的方程为y＝3（x－1），联立y＝3（x－1),y2=4x，整理得3x2－10x＋3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），解得x1＝3，x2＝13.设Q（xQ，yQ），因为5AB＝8QB，所以5（x2－x1）＝8（x2－xQ），解得xQ＝2，过点P作PH垂直准线于点H，根据抛物线的定义，得｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PH｜＋｜PQ｜，当Q，P，H三点共线且与x轴平行时，｜PF｜＋｜PQ｜有最小值，最小值为｜QH｜＝2＋1
提能点2
代数法求最值（范围）
角度1利用不等关系求最值（范围）
已知过点A（－4，0）的动直线l与抛物线G：x2＝2py（p＞0）相交于B，C两点.
（1）当直线l的斜率是12时，AC＝4AB，求抛物线G的方程
（2）对（1）中的抛物线G，当直线l的斜率变化时，设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.
解：（1）如图所示，设B（x1，y1），C（x2，y2），
当直线l的斜率是12时，l的方程为y＝12（x＋4），即x＝2y－
由x2=2py，x=2y－4，消x化简整理，得2y2－（
所以Δ＝（
又AC＝4AB.∴y2＝4y1， ②
由①②和p＞0得y1＝1，y2＝4，p＝2，
则抛物线的方程为x2＝4y.
（2）设l：y＝k（x＋4），BC的中点坐标为（x0，y0），
由x2=4y，y＝k（x+4),消去y化简整理，得
所以x1＋x2＝4k，
所以x0＝x1＋x22＝2k，y0＝k（x0＋4）＝2k
所以线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－1k（x－2k
所以线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2（k＋1）2，
由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4，可得b＞2，
所以b的取值范围为（2，＋∞）.
规律方法
利用不等关系求最值（范围）的三种方法
角度2利用基本不等式求最值（范围）
已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值
解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意知c
∴c＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为x23＋y2＝
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知｜m｜1+k2＝32，得m2＝3
把y＝kx＋m代入椭圆方程并整理，得（3k2＋1）x2＋6kmx＋3m2－3＝0.
Δ＝36k2m2－4（3k2＋1）（3m2－3）＝36k2－12m2＋12＞0.
∴x1＋x2＝－6km3k2+1，x
∴｜AB｜2＝（1＋k2）（x2－x1）2
＝（1＋k2）［36k2m
＝12（k
＝3＋12k29k4+6k2+1＝3＋129k
当且仅当9k2＝1k2，即k＝±33时等号成立，此时｜AB
当k＝0时，｜AB｜＝3，综上所述｜AB｜max＝2.
∴当｜AB｜最大时，△AOB的面积取得最大值Smax＝12×｜AB｜max×32＝
规律方法
构造基本不等式求最值的步骤
角度3利用函数性质求最值（范围）
已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.
解：（1）设P（x，y），则以PF为直径的圆的圆心为（x+12，y
根据圆与y轴相切，可得x+