第3节函数的奇偶性与周期性
【课标要求】（1）了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义；（2）会依据函数的性质进行简单的应用.
知识点一函数的奇偶性
偶函数
奇函数
前提
定义域关于原点对称
定义
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D
且f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数
且f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称
结论（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；
（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性；
（3）设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
（1）（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（B）
A.f（x）＝ex－x2x2+1
C.f（x）＝ex－xx+1 D.
（2）已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2，则函数f（x）＋2为奇函数.（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）
解析：（1）法一对于A，f（－x）＝e－x-(-x）2(-x）2+1＝e－x－x2x2+1≠f（x），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝cos(-x）＋(-x）2(-x）2+1＝cosx＋x2x2+1＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{
法二（特殊值法）对于A，f（1）＝e－11+1＝e－12，f（－1）＝e－1－11+1＝e－1－12，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝cos(-x）＋(-x）2(-x）2+1＝cosx＋x2x2+1＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数
法三（性质法）易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，y＝cosx＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝sinx＋4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B.
（2）由题意得函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋2，故f（0）＝－2.令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＋2，故f（x）＋2＝－f（－x）－2＝－[f（－x）＋2].故f（x）＋2为奇函数.
规律方法
判断函数的奇偶性包括的两个必备条件
（1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数；
（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立.
练1（1）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f（－3）＝（A）
A.－7 B.－1
C.1 D.7
解析：（1）由结论知f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f（x）＝2x－1（x≥0），则f（－3）＝－f（3）＝－（23－1）＝－7.
（2）函数f（x）＝lg（2x+1－1）的图象关于（B
A.直线y＝x对称 B.原点对称
C.x轴对称 D.y轴对称
解析：（2）f（x）＝lg（2x+1－1）＝lg1－x1+x，令1－x1+x＞0得－1＜x＜1，故f（x）＝lg（2x+1－1）的定义域为（－1，1），关于原点对称，又f（x）＋f（－x）＝lg1－x1+x＋lg1+x1－x＝lg（1－x1+x·1+
（3）（苏教必修一P129问题与探究）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（D）
A.f（x）＋g（x）为R上的奇函数
B.f（x）－g（x）为R上的偶函数
C.f（x）
D.｜f（x）g（x）｜为R上的偶函数
解析：（3）因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，所以f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）.对于A，x∈R，设F（x）＝f（x）＋g（x），则F（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g（x）≠－f（x）－g（x）＝－F（x），故错误；对于B，x∈R，设N（x）＝f（x）－g（x），则N（－x）＝f（－x）－g（－x）＝－f（x）－g（x）≠f（x）－g（x）＝N（x），故错误；对于C，x∈R，g（x）≠0，设M（x