专题26米勒最大张角（视角）模型
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
真题演练 2
巩固练习 2
模型解读
模型解读
在600多年前，德国数学家米勒提出一个有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么地方，视角最大?最大视角问题是数学史上100个极值问题中的一个，也称为米勒问题。这一问题更一般的描述是：已知，点A、B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。人们称这一命题为米勒定理！
常见类型讲解
常见类型讲解
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。
证明：如图，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC’D中，
又
真题演练
真题演练
（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是米．
??
巩固练习
巩固练习
1、如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（????）
A． B． C． D．
2、足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．
(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点______；(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．（结果用含a的代数式表示）
专题26米勒最大张角（视角）模型
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
真题演练 2
巩固练习 3
模型解读
模型解读
在600多年前，德国数学家米勒提出一个有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么地方，视角最大?最大视角问题是数学史上100个极值问题中的一个，也称为米勒问题。这一问题更一般的描述是：已知，点A、B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。人们称这一命题为米勒定理！
常见类型讲解
常见类型讲解
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。
证明：如图，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC’D中，
又
真题演练
真题演练
（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是米．
??
【答案】20
【详解】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，
????
∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，
∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，
∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，
∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，
∴EF＝MF，
又∵EF⊥OB，
∴OB是⊙F的切线，切点为E，
∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，
此时OP＝20m，
故答案为：20．
巩固练习
巩固练习
1、如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点、作，点与轴相切于点时，最大，
连接、、，作轴于，如图，
点、的坐标分别是、，
，，
，
，
，
与轴相切于点