专题25定角定高（探照灯）模型
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
真题演练 2
巩固练习 2
模型解读
模型解读
在几何学中，隐圆问题一直备受关注。其中，定角定高有隐圆的情况，又被称为探照灯模型，是中考压轴题中的常客。这类题目巧妙地隐藏了圆的信息，通过定角定高的条件，将复杂的边角问题转化为圆内的边角问题，从而简化了解题过程。掌握这一模型，对于解决这类问题至关重要。
常见类型讲解
常见类型讲解
如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为形似探照灯，所以也叫探照灯模型。
在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
设的半径为r，则∠BOE=∠BAC=；
∴BC=2BE=2OBsin=2rsin
∵OA+OE≥AD（当且仅当点A，O，E三点共线时,等号成立），
∴r+rcosa≥h，当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin；△ABC的面积最小:ADrsin；
△ABC的周长最小:2rsin+ADrsin。
真题演练
真题演练
（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN=45°，则MN的最小值为.
巩固练习
巩固练习
1、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD//BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是．
来源微信公众号：明悉数学2、问题探究，(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由；(2)如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠
来源微信公众号：明悉数学
问题解决(3)某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由．
专题25定角定高（探照灯）模型
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
真题演练 2
巩固练习 4
模型解读
模型解读
在几何学中，隐圆问题一直备受关注。其中，定角定高有隐圆的情况，又被称为探照灯模型，是中考压轴题中的常客。这类题目巧妙地隐藏了圆的信息，通过定角定高的条件，将复杂的边角问题转化为圆内的边角问题，从而简化了解题过程。掌握这一模型，对于解决这类问题至关重要。
常见类型讲解
常见类型讲解
如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为形似探照灯，所以也叫探照灯模型。
在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
设的半径为r，则∠BOE=∠BAC=；
∴BC=2BE=2OBsin=2rsin
∵OA+OE≥AD（当且仅当点A，O，E三点共线时,等号成立），
∴r+rcosa≥h，当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin；△ABC的面积最小:ADrsin；
△ABC的周长最小:2rsin+ADrsin。
真题演练
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（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN=45°，则MN的最小值为.
【答案】/
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴，，
将顺时针旋转得到，则，
∴，，，，
∴点P、B、M、C共线，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
∴
，
当且仅当，即，也即时，取最小值，
故答案为：．
巩固练习
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1、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD//BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是．
【答案】
【