专题24圆幂定理模型
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、相交弦模型 1
2、双割线模型 2
3、切割线模型 2
4、弦切角模型 3
5、托勒密定理模型 3
真题演练 3
巩固练习 5
模型解读
模型解读
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、相交弦模型
在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：。
2、双割线模型
如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：
3、切割线模型
如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。
结论：
4、弦切角模型
如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。
结论：1）；
2）；3）。
5、托勒密定理模型
如图，AB、CD是圆O的两条弦；
结论：
真题演练
真题演练
（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．
(1)求证：；
(2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．②当，时，试用含m，n，p的式子表示．
??
（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．
巩固练习
巩固练习
1、如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为．
2、如图，从圆外一点引圆的切线，点为切点，割线交于点、．已知，，则．
3、如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证；
(2)当时，求CE的长．
4、【旧知再现】圆内接四边形的对角.
如图①，四边形是的内接四边形，若，则.
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作，交于点.??
∵，∴，
∴??即???（请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为上一点，且，，求的长.
专题24圆幂定理模型
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、相交弦模型 1
2、双割线模型 2
3、切割线模型 2
4、弦切角模型 3
5、托勒密定理模型 3
真题演练 3
巩固练习 9
模型解读
模型解读
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、相交弦模型
在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：。
2、双割线模型
如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：
3、切割线模型
如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。
结论：
4、弦切角模型
如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。
结论：1）；
2）；3）。
5、托勒密定理模型
如图，AB、CD是圆O的两条弦；
结论：
真题演练
真题演练
（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．
(1)求证：；
(2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．②当，时，试用含m，n，p的式子表示．
??
【答案】(1)见解析
(2)0，1，0
(3)①等腰三角形，理由见解析，②
【详解】（1）证明：，
，
即，
又，
；
（2），
，
，
，
∵
∴，
∴，
∵
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：0，1，0
（3）①记的面积为，
则，
，
①
，
即，
②
由①②可得，
即，
，
，
即，
∴点D和点C到的距离相等，
，
，
，
，
都为等腰三角形；
②，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
则，
，
．
（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．
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