专题22四点共圆模型
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、定点定长共圆模型 1
2、定边对双直角共圆模型 2
3、定边对定角共圆模型 2
4、对角互补共圆模型 3
真题演练 4
巩固练习 5
模型解读
模型解读
四点共圆模型是几何学中的一个经典问题，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强,因而历来是考试和竞赛的热点。在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆的方法很重要.
常见类型讲解
常见类型讲解
1、定点定长共圆模型
如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
2、定边对双直角共圆模型
定边对双直角模型（同侧型）：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
定边对双直角模型（异侧型）：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
3、定边对定角共圆模型
如图，平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆．
如图，AC、BD交于H，，
结论：四点共圆.
4、对角互补共圆模型
如图，平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆．
如图，BA、CD的延长线交于P，，
结论：A、B、C、D四点共圆.
真题演练
真题演练
（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为；若，则的值为．
（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为．
（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
来源微信公众号：明悉数学如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
来源微信公众号：明悉数学
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
巩固练习
巩固练习
1、如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是
2、如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是．
3、探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）
点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．①求证：，，，四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
专题22四点共圆模型
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、定点定长共圆模型 1
2、定边对双直角共圆模型 2
3、定边对定角共圆模型 2
4、对角互补共圆模型 3
真题演练 4
巩固练习 11
模型解读
模型解读
四点共圆模型是几何学中的一个经典问题，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强,因而历来是考试和竞赛的热点。在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助