专题16一线三等角相似模型
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、一线三等角模型（同侧型） 2
2、一线三等角模型（异侧型） 2
3、一线三等角模型（变异型） 2
真题演练 3
巩固练习 4
压轴真题强化 4
模型解读
模型解读
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
常见类型讲解
常见类型讲解
1、一线三等角模型（同侧型）
如图，∠CAP=∠PBD＝∠CPD，
结论：△ACP∽△BPD.
锐角型直角型钝角型
2、一线三等角模型（异侧型）
如图，∠1=∠2＝∠3；
结论：△ACP∽△BPD.
3、一线三等角模型（变异型）
类型一：
如图，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°；
结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
类型二：
如图，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°；
结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
类型三（中点型一线三等角）：
如图，∠1=∠2=∠3，且D是BC中点；
结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.
真题演练
真题演练
（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．
问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
巩固练习
巩固练习
某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：＝k．
（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．
压轴真题强化
压轴真题强化
一、单选题
1．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
??
上述结论中，所有正确结论的序号是（????）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（????）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（????）
A． B． C． D．
二、填空题
来源微信公众号：明悉数学4．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为．
来源微信公众号：明悉数学
三、解答题
5．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
6．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
7．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当