专题15“A”字和“8”字模型（相似三角形模型）
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 2
【“A”字模型】 2
1、“A”字模型 2
2、反“A”字模型 2
3、同向双“A”字模型 2
【“8”字模型】 3
1、“8”字模型 3
2、反“8”字模型 3
3、平行双“8”字模型 3
4、斜双“8”字模型 4
【“AX”字模型】 4
1、一“A”一“8”模型 4
2、两“A”一“8”模型 5
3、四“A”一“8”模型 5
真题演练 5
【“A”字模型专练】 5
【“8”字模型专练】 6
【“AX”字模型专练】 6
巩固练习 7
模型解读
模型解读
A字模型是相似三角形几何模型中的一种，得名于其基本形状与字母“A”的形状相似。在这个模型中，两个三角形相似，且它们的一个角相等，这个相等的角被称为“A字角”。由于两个三角形相似，因此它们的对应边成比例，这个比例被称为“相似比”。借助相似比，我们可以计算出三角形中各个元素的值，从而解决各种问题。
8字模型是指由两个三角形通过共享一条对角线或中线构成的图形结构，这条对角线或中线将两个三角形分为两个小的相似三角形。在8字模型中，可以通过相似三角形的性质来求解边长或角度。
“AX”字模型（“A8”模型）型相似模型结合了A字模型和8字模型的特点，是一种非常灵活的模型。
常见类型讲解
常见类型讲解
【“A”字模型】
1、“A”字模型
如图，DE//BC；
结论：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).
2、反“A”字模型
如图，∠AED＝∠B；
结论：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).
3、同向双“A”字模型
如图，EF//BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?
【“8”字模型】
1、“8”字模型
如图，AB//CD；
结论：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).
2、反“8”字模型
如图，∠A＝∠D；
结论：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).
3、平行双“8”字模型
如图，AB//CD；
结论：
4、斜双“8”字模型
如图，∠DAO＝∠CBO；
结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠BAO＝∠CDO.
【“AX”字模型】
1、一“A”一“8”模型
如图，DE//BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?
2、两“A”一“8”模型
如图，DE//AF//BC；结论：.
3、四“A”一“8”模型
条件：如图，DE//AF//BC,；结论：AF=AG
真题演练
真题演练
【“A”字模型专练】
（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则．
??
（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
【“8”字模型专练】
（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．
【“AX”字模型专练】
（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
来源微信公众号：明悉数学问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
来源微信公众号：明悉数学
（2021·江苏南京·中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证；（2）若，求的长．
巩固练习
巩固练习
1、如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为．
??
2、如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．
(1)求证