专题13十字形模型（全等三角形模型）
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、正方形的十字架模型（全等模型） 1
2、三角形的十字架模型（全等+相似模型） 2
（1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似） 2
（2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似） 3
（3）直角三角形中的十字模型 3
真题演练 3
巩固练习 4
模型解读
模型解读
正方形“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。“十字架模型”的口诀是：“对边所夹两线段，垂直必相等”。简单来说，如果一个正方形的对边被两条线段所夹，那么这两条线段垂直且长度相等。三角形的十字架模型更是将全等与相似的概念融为一体。在三角形中，可以利用十字形构造出全等或相似的三角形，从而解决各种几何问题。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、正方形的十字架模型（全等模型）
（1）如图，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则AE=BF。
（2）如图，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则AE=GF。
（3）如图，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则HE=GF。
2、三角形的十字架模型（全等+相似模型）
（1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。
（2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。
（3）直角三角形中的十字模型
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
真题演练
真题演练
（2021·山东淄博·中考真题）已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
来源微信公众号：明悉数学（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝
来源微信公众号：明悉数学
（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；
（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．
巩固练习
巩固练习
（1）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：．
（2）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点，，，求GH的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，BF，AE相交于点G．若，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为______，的周长为______．
专题13十字形模型（全等三角形模型）
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、正方形的十字架模型（全等模型） 1
2、三角形的十字架模型（全等+相似模型） 2
（1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似） 2
（2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似） 3
（3）直角三角形中的十字模型 3
真题演练 3
巩固练习 6
模型解读
模型解读
正方形“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。“十字架模型”的口诀是：“对边所夹两线段，垂直必相等”。简单来说，如果一个正方形的对边被两条线段所夹，那么这两条线段垂直且长度相等。三角形的十字架模型更是将全等与相似的概念融为一体。在三角形中，可以利用十字形构造出全等或相似的三角形，从而解决各种几何问题。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、正方形的十字架模型（全等模型）
（1）如图，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则AE=BF。
（2）如图，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则AE=GF。
（3）如