专题09一线三等角全等模型（同侧/异侧）
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、同侧型一线三等角 1
2、异侧型一线三等角 2
真题演练 2
巩固练习 2
模型解读
模型解读
“一线三等角”是一个常见的相似模型（或全等模型），指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形（或全等图形）。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”模型，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”，在本章中统称为“一线三等角”。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、同侧型一线三等角
如图，∠A=∠CPD=∠B，CP=DP；
证明思路：∠A=∠B，∠C=∠BPD+任一边相等?△BPD≌△ACP.
锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角
2、异侧型一线三等角
如图，∠1=∠2=∠3+任意一边相等
证明思路：∠CAP=∠PBD，∠C=∠BPD?△BPD≌△ACP.
锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角
真题演练
真题演练
（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等．
巩固练习
巩固练习
过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明．
专题09一线三等角全等模型（同侧/异侧）
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、同侧型一线三等角 1
2、异侧型一线三等角 2
真题演练 2
巩固练习 2
模型解读
模型解读
“一线三等角”是一个常见的相似模型（或全等模型），指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形（或全等图形）。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”模型，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”，在本章中统称为“一线三等角”。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、同侧型一线三等角
如图，∠A=∠CPD=∠B，CP=DP；
证明思路：∠A=∠B，∠C=∠BPD+任一边相等?△BPD≌△ACP.
锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角
2、异侧型一线三等角
如图，∠1=∠2=∠3+任意一边相等
证明思路：∠CAP=∠PBD，∠C=∠BPD?△BPD≌△ACP.
锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角
真题演练
真题演练
（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等．
【答案】2或
【详解】解：①当，时，，
，
，
，
，解得：，
，
，
解得：；
②当，时，，
，
，
，解得：，
，
，
解得：，
综上所述，当或时，与全等，
故答案为：2或．
巩固练习
巩固练习
过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）解：；
证明：四边形是正方形，
，，
，
又，，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴；
（2）；
证明：四边形是正方形，，，
，
又，，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴；
（3）；
证明：四边形是正方形，
，，
，
又，，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴．