专题08倍长中线与截长补短模型（全等三角形模型）
专题目录
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TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
【“倍长中线”模型】 2
1、倍长中线型（基本型） 2
2、类中线/中点型（一） 2
3、类中线/中点型（二） 2
【“截长补短”模型】 3
真题演练 3
【“倍长中线”问题专练】 3
【“截长补短”问题专练】 4
巩固练习 5
模型解读
模型解读
“倍长中线法”是几何中常用的辅助线构造方法，主要用于解决与三角形“中线”或“类中线”（与中点有关的线段）相关的几何问题。通过延长中线或类中线，构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论。
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法。
截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证GF＝CD即可。
补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证AH＝EF即可。
常见类型讲解
常见类型讲解
【“倍长中线”模型】
1、倍长中线型（基本型）
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线；
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE。若连结BE，则△BDE≌△CDA；
若连结EC，则△ABD≌△ECD。
2、类中线/中点型（一）
如图，在△ABC中，D是BC中点；
证明思路：延长FD至点E使DE＝FD，则△FDB≌△EDC。
3、类中线/中点型（二）
如图，C为AB的中点；
证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则△BCE≌△ACF；
若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则△ACD≌△BCG。
【“截长补短”模型】
如下图，若要求证AB＋BD＝AC，
1、截长法：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条。
思路：可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可。
2、补短法：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
思路：延长AB至点C′使得AC＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可。
真题演练
真题演练
【“倍长中线”问题专练】
（2020·山东德州·中考真题）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：；
（2）AD的取值范围是；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，AB/BC=1/2，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且EF/BE=1/2，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
（2020·四川乐山·中考真题）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．
【“截长补短”问题专练】
来源微信公众号：明悉数学（2020·安徽·中考真题）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
来源微信公众号：明悉数学
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG=2AG．（结论中包含线段的和差等量关系，容易联想到截长补短的方法）
巩固练习
巩固练习
1、课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交A